28 Severin Johansson. 



Die Pseudosphäre im Raum R 



32. Indem wir nunmehr auf Jie Kurve T,**' die zugehörige Drehung des Doppelliüschels 

 ausüben, entsteht eine Rotationsfläche P^^'\ die wir Pseudosphäre nennen. Den drei Fällen ent- 

 sprecliend, entstehen drei Arten von Pseudosphären, die wir mit [Pl'l^)\, {f!.'^\ und (-P,!*')3 

 bezeichnen. Über die Gestalt dieser Flächen können wir dann unmittelbar aus den Entwicke- 

 lungen über die Tractricen bestimmte Schlüsse ziehen. 



Was zuerst die Fläche {Pl^^^)i lietrifft, so besteht sie ersichtlich ans zwei Mänteln, die 

 in Bezug auf eine Bahnebene der vorliegenden Drehung erster Art symmetrisch liegen und 

 die sich der Achse des Doppelbüschels nach beiden Richtungen unbegrenzt nähern. Für 

 k < k„ vereinigen sich die beiden Mäntel längs einer Rückkehrkante in der Symmetrieebene. 

 Diese Rückkehrkante ist ein Kreis, dessen Radius die in dem Vorigen oft vorkommende durch 

 die Gleichung (7) festgelegte Grösse r ist. Für k = kf, sind die Mäntel asymptotische Kegel- 

 flächen, die sich der Symmetrieeliene asymptotisch nähern (Vgl. Nr. 10). Für k > k^^ nähern 

 sich die Mantelflächen denjenigen beiden aequidistanten Flächen asymptotisch, die in dem Ab- 

 stand q von der Symmetrieebene liegen, wo q durch die Gleichung (28) mit k zusammenhängt. 



Die Fläche (P,**% ist aus zwei aequidistanten Flächen zu einer Bahnebene der Drehung 

 zweiter Art zusammengesetzt, die symmetrisch zu dieser Ebene in dem Abstand q liegen, wo 

 ^7 durch die Gleichung (10) mit A: zusammenhängt. Insbesondere ist für k — k^ die Fläche 

 i^t'h selbst eine Bahnebene (Vgl. Nr. 10). 



Die Fläche {P^'^):i schliesslich besteht ebenfalls aus zwei in Bezug auf eine Bahnebene 

 der zugehörigen Drehung dritter Art symmetrischen Mänteln, die sich längs einer Rückkehr- 

 kante in der Symmetrieebene vereinigen. Diese Rückkehrkante ist eine aeqnidistante Kurve, 

 die im Abstand p von der Achse des Doppelbüschels läuft, wo p die oben oft vorkommende 

 ilurch die Gleichung (8) mit k zusammenhörende Grösse ist. 



, Für ^ = oo erhalten wir jedesmal, wie schon in Nr. 10 hervorgehoben wurtle, diejenigen 

 Flächen, die bei allen zu dem Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich verschoben 

 werden. Speziell ist (p5"% eine Grenzkugel. Die Flächen {P^^\ und (J'jlf ')s «'nJ "i^^lit g^- 

 staltlich verschieden, sondern gehören beide denjenigen in Nr. 5 näher liesprochenen Flächen 

 an, die bei den zu einem eigentlichen Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich über- 

 gehen. 



Ist ko = oo oder liegt also der Euklid 'sehe Raum vor, erhalten wir daselbst in (Pj,'')i die 

 gewöhnliche Pseudosphäre mit dem Parameter k. (Pj^')i und {P^^% sind Kreiszylinder und 

 iP^\ eine Ebene. 



33. Wir führen nunmehr auf der Pseudosphäre Pj!*' krummlinige Koordinaten u, v ein, 

 so dass die Kurven M = const. und t' = const. bezw. mit den Meridianen und den Breitenzy- 

 kein zusammenfallen. Wir wählen deshalb einen Meridian und einen Breitenzykel zu Aus- 

 gangskurven und legen durch den Flächenpunkt einen Meridian. Danach bezeichnen wir mit 

 V den längs diesem MeLidia.n gemessenen Abstand des Flächenpunkts von dem Ausgangsbrei- 

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