Über die Tractrix und die Pseudosphäre in der hyperholischen Geometrie. 29 



tenzykel und mit u den Bogen auf diesem Zykel zwischen deiu Ausgangsmeridian und dem 

 durch den Flächenpunkt gehenden Meridian, v wird in derjenigen Richtung positiv gerechnet, 

 in der entsprechende Breitenzykel bögen kleiner werden. 



Dies festgelegt können wir offenbar aus der Definition der Fläche schhessen, dass 

 das dem Bogeiielement du auf dem Ausgangsbreitenzykel entsprechende Bogeneleuient auf 



V 



dem durch den Flächenpunkt (^<, v) gehenden Breitenzykel gleich e du ist. Infolgedessen er- 

 halten wir dann für das Bogenelement ds auf der Pseudosphäre P^.*'' die Beziehung 



(54) ds^ = e ' du"^ + dv^. 



Sjjeziell ist auf den Flächen P,'"' 



ds^ = du'^ + dv'i. 



34. Die hiermit entwickelte Formel (54) gestattet wichtige Schlüsse über die Fläche 

 Z'^'*' zu zieiien. Indem wir auch k^ als Parameter auffassen und somit Flächen in verschiede- 

 nen Ptäumeu in Betracht ziehen, können wir offenbar sogleich schliessen, dass alle Ilächen 

 P/*' mit demselben k auf einander ahwiclcelhar sind. Bei dieser Abwickelung, die so stattfin- 

 det, dass Flächenpunkte mit denselben Koordinaten {u, v) auf den verschiedenen Flächen 

 einander zugewiesen werden, gehen ersichtlich die Meridiane und Breitenzykeln wieder in Me- 

 ridiane und Breitenzykeln über. 



Unter den Flächen P;!^*' mit demselben^ kommt nun jedesmal auch die Ebene (Pj'')2iin 

 Raum i?j. vor. Infolgedessen können wir schlies.sen, dass die Fläche P(',*'' im Raum R^ auf 

 die Ebene im Raum R^, aJnvicJcelbar ist Bei dieser Abwickelung gehen die Meridiane in ein 

 Büschel paralleler Geraden über, während die Breitenzykeln auf das zugehörige Ortogonal- 

 liüschel von Grenzkreisen abgebildet werden. Die geodätischen Linien auf der Fläche gehen 

 in Geraden in der Ebene über. Infolgedessen können wir folgenden Satz aussprechen: 



Die Trigonometrie der geodätischen Dreiecke auf der Pseudosphäre P^'*' im Raum R ist 

 init der ebenen Trigonometrie im Raum Rj^ identisch. 



Hiermit haben wir die in Nr. 3 angegebene Aufgabe vollständig erledigt. 



Für die aequidistante Fläche {P^.'^% enthält dieser Satz die früher schon wohlbekannte 

 Tatsache, dass die Trigonometrie ihrer geodätischen Dreiecke mit der ebenen Trigonometrie 

 des Raums R^ zusammenfällt, wo Je mit dem Abstand q der Fläche von ihrer Polarebeue 

 durch die Gleichung (10) zusammenhängt. 



Für ^- = 00 erhalten wir aus dem obigen Satz insbesondere das einfache Ergebniss, dass auf 

 denjenigen Flächest, die bei allen zu eincyn Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich tmscho- 

 ben werden, die Geometrie der geodätischen Linien euklidisch ist. Wir sind somit durch unsere Un- 

 tersuchungen zu zwei Typen von Rotationsflächen gekommen, auf denen die Geometrie eukli- 

 disch ist; es sind diese die in Nr. 5 näher betrachteten Flächen. 



Für k^—oo d. h. in dem Euklid'schen Raum kommen wir auf die bekannte Eigenschaft 

 der gewöhnlichen Pseudosphäre zurück. Ist da])ei noch ä: = oo, erhalten wir als Grenzfälle für 

 die in Nr. 5 betrachteten Flächen die Euklid'sche Ebene und den Euklid'schen Kreiszylinder, 

 deren geodäti.sche Dreiecke ja die ebene Euklid'sche Trigonometrie aufweisen. 



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