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Pour augmenter encore 1'intérét que présenteront nos 

 recherches, nous rappelons cTabord les relations établies par 

 M. Klein *) entré les surfaces symétriqaes de Biemann et 

 les branches reelles des courbes algébriques. En effet, M. 

 Klein, s'appuyant sur la théorie des surfaces symétriques, 

 a énoncé quelques théorémes concernant les courbes que 

 nous avons en vue. Puis, nous ferons remarquer que les 

 courbes dont nous nous occupons sont du quatriéme genre, 

 tandis que le genre des courbes qui ont été étudiées en 

 détail jusqu'ici, n : est que du troisiéme au plus; ce nombre 

 appartient, comme on sait, aux courbes du quatriéme or- 

 dre sans singularités. 



I. Formes des courbes. 



Pour caractériser les différentes espéces, il faut d'abord 

 se rendre compte des invariants des courbes, quand on les 

 assujettit aux deformations continues et aux transformations 

 homographiques reelles. Comme tels se présentent immé- 

 diatement le nombre des branches complétes et leur ca- 

 ractére comme branche impaire ou branche paire, et en- 

 core le groupement relatif des branches. 



Nous faisons maintenant entré les différentes parties 

 de la courbe la distinction suivante. Nous appelons „par- 

 tie intermédiaire' ; (I) une partie telle qu'on peut sMmaginer 

 étre décrite par un point qui part de l'un des points tri- 

 ples (T t ) et arrive å Pautre (T 2 ) sans passer par ces points 

 multiples. Si le point mobile, partant de l'un des points T, 

 retourne au méme point, il a décrit un ,,oeillet" (O). Le 

 nombre des deux espéces de parties est évidemment aussi 

 invariable. 



Apres avoir transformé la courbe de sorte que le 

 nombre de ses points réels å 1'infmi soit minimum, nous 

 employons les dénominations „partie intermédiaire infinie" 



l ) Riemaim'sche Flächen, Vorlesung von F. Klein, Sommer-Se- 

 mester 1892. 



