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elements de la courbe concourent en ces points. Les par- 

 ties intermédiaires absorbent le méme nombre de ces ele- 

 ments aux points T y et T 2 ; il en reste alors autant au 

 point T x qu'au point T 2 pour les oeillets, dont chacun en 

 absorbe deux. Donc, il y a le méme nombre d'oeillets aux 

 deux points triples. 



Ce nombre ne peut pas dépasser deux, car s'il y avait 

 trois oeillets au méme point T, ils devraient nécessairement 

 former ou une seule branche ou deux branches, mais dans 

 les deux cas nous aurions une branche qui serait coupée 

 par la droite 2\ T 2 en un nombre impair de points, ce qui 

 est contraire au resultats trouvés plus haut. 



Il est utile de remarquer encore que les oeillets infi- 

 nis doivent se trouver au méme point triple. Cela est evi- 

 dent, parce que deux oeillets aux dilférents points se cou- 

 peraient nécessairement et donneraient alors naissance aux 

 points doubles, que notre courbe ne posséde pourtant pas, 

 d'aprés la supposition. 



Faisons dans la suite Thypothése que la courbe soit 

 transformée de sorte que le nombre de ses points réels å 

 rinfini soit aussi petit que possible. Appelons T± le point 

 ou se trouvent les oeillets infinis et désignons respective- 

 ment par m, n, p et q le nombre des oeillets infinis, celui 

 des oeillets finis en T x et en T 2 et des parties intermédiai- 

 res infinies. Apres avoir convenablement déformé la courbe, 

 on pourra rnener des droites qui couperont chacune des 

 6 — 2(m -f- n) — q parties intermédiaires finies et chaque oeillet 

 infini en un point réel. Le nombre de ces points d'inter- 

 section, qui est egal a 6 — 2(m -f - n) — q -j- m, doit donc 

 étre supérieur ou au moins egal au nombre m -f- q de points 

 réels sur la droite de 1'infini, car autrement on pourrait, 

 par une transformation homographique, réduire encore le 

 nombre des points de 1'infini appartenant å la courbe. Les 

 conditions auxquelles les nombres, entiers et positifs, m, n, 

 p et q sont soumis, sont par conséquent: 



(1) m-\-n =p 



(2) m-\-n^2 



