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III. Des courbes tricirculaires anallagmatiques. 



Avant de terminer notre étude, nous ferons quelques 

 remarques sur une espéce spéciale de ces courbes, savoir 

 celle qui résulte de Pintersection d'une sphére SW et d'un 

 cöne SW du troisiéme ordre. 



Si 1'on fait la projection stéréographique de cette 

 courbe d'intersection sur le plan polaire § du sommet du 

 cöne par rapport å la sphére, on obtiendra une courbe tri- 

 circulaire C p ^\ dont on montrera facilement Pidentité avec 

 la courbe anallagmatique qui a comme cercle directeur (CW) 

 1'intersection du plan $ et de la sphére, et comme courbe 

 déférente la courbe KW de la troisiéme classe, provenant 

 de la courbe base du cöne par une transformation au moyen 

 de polaires réciproques par rapport au cercle C^> l ). 



On rencontre encore les mémes courbes en étudiant 

 la transformation de contact 2 ), dont Péquation directrice 



0(0?!,^; x 2 ,y 2 ) = 



est linéaire en x u y x et du deuxiéme degré en a? 2 , y 2 . Cette 

 transformation revient, ä savoir, å la transformation polaire 

 par rapport å une courbe CW du troisiéme ordre. En effet, 

 sans restreindre la généralité, on peut supposer les axes 

 des coordonnées de x x , y u et de x 2 , y 2 coniondus. Aux points 

 (aj„ t/i) du plan correspondent alors un réseau de coniques. 

 Celui-ci peut toujours étre considéré comme un réseau de 

 coniques polaires d'une courbe C^ du troisiéme ordre 

 qui peut, par conséquent, servir å définir la transformation 

 aussi bien que 1'équation il = 0. Prenant la courbe O® 

 comme se composant d'un cercle de rayon r et de la droile 

 de Pinfini, Péquation £> = O aura la forme 



2 x x x 2 + 2 y ± y 2 -f x 2 2 4-«/ 2 2 -3r 2 = 0. 



J ) Comparer: Darboux, Sur une classe remarquable de courbes 

 et de surfaces algébriques, p. 32 et suiv. 



2 ) Voir: Lie-Scheffers, Geometrie der Beriihrungstransformationen, 

 Bd. I, Kap. 2. 



