SÅ 



28 H. T. Daug, 



.ï = a-Q + {s + h) ^ COSCi + -y-, CO 



.y = ^0 + (•'^ + ^) ^ "-"os/S + ^. cos/^ I ' 



2 = ^0 + (^^ + /') ) cosy + Ti-, cosv I • 



Par conséquent les équations de la surface rectifiante d'une quelconque 

 de nos courbes pi-endront la forme 



I = .7;^, + r{2'cosÄ + ä'cosA} , ■ 

 ;? = y^ + ü^Tcos/S + A'cos^} , 

 Ç = c„ + I' {7' cosy + K cosv ) . 



Il faut donc que la surface rectifiante soit une surface conique. 



En vertu de ces observations on peut conclure que toute courbe, 

 douée de la propriété 



-p = rns -j- n , 



doit être une courbe géodésique d'une surface conique. 



Réciproquement toute courbe géodésiqiie d'une surface conique 

 aura le rapport entre la torsion et la courbure fonction linéaire de .s; 

 en effet, les coordonnées d'une telle courbe devant satisfaire à une équa- 

 tion de la forme 



{x-a-J- + Qf-l/J + G--0' = <r + O^- + by, 



on eu tirera 



T fs . h 



Or la propriété 



^ 4- 



-p = ms + n 



caractérise les courbes géodésiques des surfaces coniques. 



Ce théorème est un pendant de celui de M. Bertrand, savoir: la propriété 



T 



caractérise les courbes géodésiques des surfaces cylindriques. 



