DE Bezout et Cauchy. b- 



Donc l'existence de la racine commune ,/•, exige néceseairement 



(14) Z)("' - , 



Z)'"' étant le déterminant des confidents dans les équations (13), en 

 sorte que l'on a 



(15) 



/)(«) — 



C 



0,0 1 '-0.1 1 • • • 1 ''o,«— 1 

 -1.0 1 '-1,1 •) • • • 5 ''l.n— 1 



'"«-1.0 ! '-'«-1,1 » 



t'«-l,«-l 



Ij'équation (8) démontre la chose connue que D'"' est déterminant symé- 

 trùjue '). 



On doit observer que l'équation (14) subsiste môme dans le cas où 

 la racine commune œ^ est égale à zéro, puisque alors tous les éléments 

 de la dernière colonne de Z>'"^ sont nuls. 



Nous venons de démontrer que l'équation (14) est condition néces- 

 saire pour que les équations (1) aient au moins une racine commune. 

 Mais cette condition est aussi suffisante. En effet, si tous les coefficients 

 dans A(a^ et B(x), à l'exeption de 6^, étaient donnés, il faudrait et il 

 suffirait pour l'existence d'une ou de plusieures racines communes aux 

 équations (1) que 6^ satisfît à la seiile équation 



(16) B(a',).BÇr,) £(..„) = 0, 



.t'i, ,i'o, . . . , x„ étant les n racines de l'équation 



A{a-) = . 



Maintenant, l'équation (14) étant condition nécessaire, elle doit né- 

 cessairement être vraie pour chaque valeur de bfi tirée de l'équation (16). 

 Donc il ne reste que de démontrer qu'aucune autre valeur de b^ ne p'eut 

 satisfaire à l'équation (14), ou, ce qui revient au même, qu'elle ne peut 

 être, H l'égard de bf, , d'un degré supérieur à n, ce qui s'ensuit immédia- 

 tement de l'observation que Z)'"' est du n:ième degré par rapport aux 

 coefficients dans les équations (13) et que, en vertu des formules (6) et 

 (8), ces mêmes coefficients sont des fonctions linéaires des coefficients 

 dans l'équation B(x) = 0. 



') Voir: M. Cayley, l'hilosopliical Transactions (^XLVII. 



