DE Bezout et Cauchy. . 13' 



II. Si Z)'"' = 0, sans que .?• = xnit racine commune aux équations 

 (1), mais qu'on ait^ au contraire^ trouvé qu'un quelconque Je ces mêmes mi- 

 neurs (le Z)'"' s'évanouit, tous les autres des dits mineurs sont nécessaire- 

 ment nuls^ et les équations (1) ont au moins deux racines communes. 



III. Si -D'"^ = et que x = ne soit pas racine commune aux 

 équations (1), il ne peut jamais être (jue^ parmi les dits mineurs, les uns 

 soient nuls et les autres différents de zéro. 



IV. Ä, au contraire., x = est racine commune aux équations (I) '), 

 ou tous les dits mineurs., ou tous à l'exception de D" s'évanouissent. Alors, 

 si I)"_^ ne s'évanouit pas., les équations (1) n'ont que la settle racine com- 

 mu:ne ,r = 0, niais, si ce mineur s'évanouit.^ elles ont au moins deux racines 

 communes, y compris la racine x = 0. 



On doit observer que dans ces théorèines est contenu le suivant, 

 (jui est parfaitement indépendant de toute supposition à l'égard d'une 

 racine commune nulle: 



V. Si J)*-"' = 0, les équations (1) ont plus d'une seule racine commune 

 ou n'en, ont qu'une seide., suivant que le mineur D'^ ^ s'évanouit ou non. 



10. Passons maintenant à la détermination de la racine commune 

 aux é(|uations (1), dans les cas où elles n'en ont qu'une seule. En sup- 

 primant la dernière des équations (13), et en éliminant, entre les autres, 

 toutes les puissances de x^ qui s'j' trouvent, à l'exception de la première, 

 nous obtiendrons 



("1") -''i = r,00 





é(iuatiun qui, dans le cas qui nous occupe, ne peut jamais devenir illu- 

 soire, ))uisque, par supposition, 1)]"^^ n'est pas nul. üans cette équation 

 a|,"' est ce qu'on obtient de I>["^^, en y remplaçant les éléments de sa 

 dernière colonne par les éléments correspondants de la dernière colonne 



de Z)t"'. 



11. Supp(jsant qu'il existe au moins une racine commune x^ aux 

 équations (1), cette racine satisfera nécessairement à chacune des équa- 



') Cette siippositon entraîne c'viilemment 7)<"' 



