DE Bezout et Cauchy. 15 



De ces formules il suit: 

 (42) !>■' = (-«7"---''-M>'"-". 



Puisqu'on a 



i>-^ = c,,o />;;" -cv,z);:' + . . . + (_i)"- .,,„_. ir;^ , 



'-,",0 '/t,i ' ^i.ll-\ 



il vient, en vertu de la formule (42), 



79('0 = (_iy-'«-2-^ «"-'-'' ['>,o «"-' + '>,, «"-^' + . . . + '>,„->] ^>"-^' 



ou, à cause de la formule (IJ), 



(43) 7>"' = i-iy'"'-^ . a"-'-"- .Cf. {a) .]>"-'' . 



Cette formule est vraie chaque fois que « est racine commune aux équa- 

 tions (1), ce qui est d'ailleurs évident. 



12. De la formule (42) nous tirons les conséquences suivantes, qui 

 supposent D^"^ = 0, c'est-à-dire que les équations (1) aient au moins 

 une racine commune. Une telle racine commune étant désignée par «, 

 nous avons les théorèmes: 



VI. Quant aux mineurs de Z)<"> représentés par Z)'"' un des trois cas 

 suivants aura nécessairement lieu, savoir: 



l:o ou ces mineurs sont tous nuls. Dans ce cas les équations (1) 07it 

 au moins deux racines communes. 



2:o ou aucun de ces mineurs n'est nul. Dans ce cas les équations (1) 

 n''()nt qu'une seule racine commune, et cette racine est différente de zéro. 



3:o ou tous ces mineus sont nuls, a l'exception de D'"' . Dans ce 



Cn—\,n—\ 



cas les équations (1) nont qu'une seule racine commune.! et cette racine est 

 éijale à zéro. 



VII. Si les dits mineurs ne s'évanouissent pas., on tire de l'équation 

 (42) non seulement les formules ') : 



') Voir: Elements de lu Théorie des Déterminants pai- M. P. Man.sion, xMons 1875, 

 p. 25 (conchision l:o de la rlémonstration de .Ianni). 



