DE Bkzout et Cauciiy. 21 



Pnis(nie D''<ll ne s'évanouit pas, les équations données n'ont que deux 

 raeines communes, et puisque 2)^',, s'évanouit quand »' — ,« = 2, ces deux 

 racines <i: et ß satisfont à l'équation 



« + ,i = . 



Cela se vérifie immédiatement, en observant que les équations données 

 peuvent s'écrire de la manière: 



(..-2)0. + 2) (.■+!)(,. + 8) = 0, 

 0.-2)C. + 2)(,r+6)G.-4) = 0, 



d'où l'on voit que les racines communes sont 2 et — 2. 



Ui. Si i>"" = D\"^ = D'-'^'L-iM—i = 0, tous les mineurs de i)'"' (jui 

 s obtiennent de ee di'terminant, en y siqyprimant deux li</nes et deux eolonnes 

 ijueleonijaes, sont nuls. 



Ce théorème se démontre d'une manière analogue à celle dont nous 

 avons tait usage dans les numéros 11 et 12. 



En effet, supprimant deux quelconques des équations (13), et don- 

 nant à chacune des autres la forme 



'•„, .r."-' + . . . + .■ ,^_, ..,«-^+' + x,"-^--^ {e,,^, ..r + '> .^ + 'V«+0 + 



l'élimination de x^"~^ , . . . , 'i'i"~'''^S -V~''^% ^i"~"~% . . . , x^ entre ces 

 équations donnera une équation du deuxième degré par rapport à x^, 

 dans laquelle trois des mineurs du {n — 2)'*"" degré de Z)""' figurent comme 

 coefficients. Cette équation devant être vraie pour chacune des racines 

 communes aux équations (1), ces trois mineurs sont nécessairement nuls, 

 puisque, dans le cas qui nous occupe, les équations (1) ont au moins 

 trois racines communes. En supprimant de toutes les manières possibles 

 deux des équations (13) et donnant chaque fois à f« successivement tou- 

 tes les valeurs admissibles, le théorème deviendra évidemment démontré 

 pour tous les mineurs du (?«— 2)'^'"'' degré de D'-"' dans lesquels les in- 

 dices des colonnes supprimées ont pour différence 1 ou 2. Pour les 

 autres des mêmes mineurs le théorème se démontre de la môme manière, 

 sauf qu'on écrit chacune des équations (13) de la manière: 



