DE Bezout et Cauchy. 25 



En etfet, ces théorèmes sont corollaires du théorème A' et de ce 

 t'ait que les équations 



A,Çt) = , B,Çr) =■■ 



ont au moins une racine commune, ou qu'elles n'en ont aucune, suivant 

 que le déterminant i)*"-'*' de leur système dérivé s'évanouit ou non. 



Tous les déterminants dont il s'agit dans ces théorèmes sont si/mé- 

 trupies^ et, nous le répétons, on les obtient de 1)*"', en y supprimant 

 des nombres égaux des dernières lignes et des dernières colonnes. 



19. On sait ') que, si les équations (1) ont un nombre connu de 

 racines communes, ces racines sont données par une équation qu'on peut 

 construire. Le premier membre de cette équation sera donc, à un facteur 

 constant près, le plus grand commun diviseur entre les fonctions qui 

 constituent les premiers membres des équations (1). D'après le théorème 

 XI ce plus grand commun diviseur peut être calculé de la manière 

 suivante. 



Supposons données deux fonctions A{,v) et -ß(.') et écrivons les 

 équations 



(1) ^(.^0 = 0, 5(.r) = O: 



Formons de plus le déterminant i)^"' des coefficients dans le système 

 dérivé de ces équations. Alors, si l'on trouve 



Z>"" = Ai"' = . . . = A<,'^i = Ü 



et que A',"' ne soit pas nul, les équations (1) ont /■ racines communes, 

 et ;• seules, et le plus grand commun diviseur entre les fonctions don- 

 nées sera nécessairement du r'"""" degré. Chacune de ces racines com- 

 munes satisfaisant à toutes les équations du système (13), nous en choi- 

 sissons les n^-r premières, savoir: 



('ü,c. *""^ + ^û,i •■î'""^ -{-... + tv,,„_2 .r + c,,„_, = , 



t'i.o ■'•""' ■!" ''i,i ■'î'""^ + . . . + ri,„_2 œ + (•,,„_i = , 



f„_,_,,û X" ^ + ''„_,._,,l X" ■' + ... + f„-r-l,„-2 X + f„_,_i,„_i - , 



') Voir par exemple M. DosTon, EIrnicnts de la Theorie des Déterminants 

 132—135. 



Nova Acta Eeg. Soc. Se. Ups. Ser. III. i 



