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M. Falk, Sur la Méthode d'Élimination 



oil, pour plus de simplicité, nous avons écrit ,c au lieu de a\ . Élimi- 

 nant, entre ces équations, .i-"~' , a'"~% . . . , .c'+', l'équation qui donne les 

 racines communes aux équations (1) devient: 





1 ^'o,n- 



.'■'■+ t'o,„_,. J/ '+... + 'V„_i 







-/— 1,0> ''«—,— 1,1' • • • ) '■«-)— 1,«—'— 2 î <'„-r—l,H—r-l J'' + t'„_,._, „_,,ir' + . . . + f „_,._!, „_i 



OU, après le développement du déterminant suivant les puissances de x, 



((59) 



'■■0,0 > • • • 1 '-'o,ii— ;■- 



t'„_,._i,o ) • • • 1 ''«_,_i,„_,_i 



+ ...+ 



x -\- 



''O.o 1 • • • 1 '^0,«— r- 



2 1 ' 0,) 



r— 1,01 • • • 1 t-'/i— )■— l,n— /■— 2 1 '';i— )■— 1,11- 



x^-' + 



+ ... + 



+ 



'^'o.Ù 1 • • • ' '^'o,»!— /■— 2 ■) '-'o,ii- 



-!,«-)■— 2 1 '-11—1—1,11—1 



En eftet, cette équation est vraie pour chacune des racines communes 

 aux équations (1), et son premier membre ne peut pas être identique- 

 ment nul, puisque le coefficient de x'', qui n'est autre chose que aJ,"\ 

 par supposition est différent de zéro. 



Donc le premier membre de ^équation (69) l'ut le plus ijrand commun 

 diviseur entre les deux polynômes -4(*) et i>('*')- 



Ou doit observer que, si l'on prend les n — /' premières des équa- 

 tions (13) et qu'on élimine entre elles x""', a""% . . ., .t''~S il viendra 

 précisément ce qu'on obtient de l'équation (69), en y remplaçant r par 

 A*. Alors il convient de distinguer les deux cas suivants. " 



1) Si 1»* > r, l'équation obtenue contiendra les racines communes 

 aux équations (1), mais elle peut de plus avoir des racines qui n'appar- 

 tiennent pas à ces équations. 



