32 M. Falk, Sur la Méthode d'Élimination 



Lemonniek '), Oh. Biehler '•'), et jusqu'à ce moment je n'ai pas eu l'oc- 

 casion de consulter la théorie d'élimination de M. Venté jol, de l'exi- 

 stence de laquelle je ne suis informé que par quelques mots dans l'in- 

 troduction au traité susdit de M. Biehler, mais cet auteur ne cite pas le 

 journal où est inséré le traité de M. Ventéjol. 



Quant aux conditions nécessaires et suffisantes pour que les équa- 

 tions (1) aient un nombre donné de racines communes que j'ai exposées 

 dans le théorème XII du n:o 18, elles sont les mômes que celles de M. 

 Rouché, à cette différence insignifiante près que les lignes et les colon- 

 nes de Z)'"' et de ses mineurs A^'' doivent être prises dans l'ordre in- 

 verse pour que Z)^"' et Aj"^ coincident au déterminant R et aux »mineurs 

 principaux» i?^ de M. Rouché. Malgré cela j'ai osé publier mes recher- 

 ches sur ce sujet, puisque, chez les auteurs cités, je n'ai trouvé aucune 

 mention de la propriété intéressante des mineurs de Z)'"' que j'ai exposée 

 dans mon théorème X du n:o 17, et qui me semble être d'une impor- 

 tance fondamentale. De plus, cette propriété montre l'intime liaison 

 qui existe entre le théorème connu que j'ai cité dans n:o 5 et le théo- 

 rème élégant de M. Rouché — liaison qui consiste en ce que ceci s'ob- 

 tient immédiatement par l'application itérée de cela. Aussi les propriétés 

 des mineurs Z)<"* et Z)^''„ qui sont énoncées dans mes théorèmes I — IV 



et VI — VIII, elles ne sont pas, je pense, dépourvues de tout intérêt, 

 puisqu'elles montrent que, parmi tous les mineurs du même ordre, c'est 

 le mineur principal seul qvii se prête d'une manière parfaitement générale 

 à la détermination du nombre des racines communes. 



M. Zeuthen et M. Lemonnier ont, l'un et l'autre, pris pour point de 

 départ la méthode d'élimination d'EuLER. M. Zeuthen en déduit le théorème 

 que, pour l'existence de p racines communes aux deux équations algébriques 



a(.r) = et /<.r) = 0, 



l'une du //i""'"' degré, l'autre du ?i'^""', il faut et il suffit qu'on puisse ob- 

 tenir deux fonctions algébriques et entières a{x) et /î(a;), l'une du (?/; — ^;)'*'"' 

 degré, l'autre du (n — j*)'*""", telles que l'on ait identiquement 



^(.r) . a(.r) = «(,t) . h{a^ . 



') Mémoire sur Vrlhnination, pur M. H. Lemonnieh. AnuaJvs de FEcolc iS'iJC- 

 niah snprrietire, â«* série, t. VII, 1878. 



^) Thèses présentées ô la Faculté des Sciences de Paris imtr le doctorat es 

 Sciences MatJiématifjues, par M. Vu. Bikhlf.r. Thèse d'Alf/rbrc, — Sur la Théorie 

 des Équations, Paris, 187J'. 



