DE Bkzout et Cauchy. 



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Il remplace ensuite ces conditions par ce que certains mineurs du déter- 

 minant de M. Sylvester, en nombre de /j, doivent être égaux à zéro. 



M. Lemonnier, dans son important Mémoire sur l' élimination^ a donné 

 des conditions exactes pour l'existence de p racines communes à deux 

 équations algébriques. Ces conditions sont celles de M. Zeuthen jointes 

 à ce qu'un certain mineur du déterminant de M. Sylvester doit être 

 différent de zéro. Nous verrons bientôt combien cette dernière condi- 

 tion est indispensable. 



Grâce à l'exposition (ju'il a faite de l'intime liaison qui existe entre 

 les méthodes de Bezout, de Cauchy, de M. Sylvester et de M. Cayley, 

 M. Lemonnier transforme ensuite son théorème, en sorte qu'il s'applique 

 à la méthode d'élimination de Cauchy. 



Ce dernier théorème est aussi donné par M. Biehler, mais en forme 

 incomplète, puisqu'il a omis d'exiger qu'un certain mineur du déterminant 

 de Cauchy doit être différent de zéro. 



Nous allons maintenant discuter ces théorèmes, en nous bornant au 

 cas de deux équations du même degré. Conservant les notations que 

 nous avons adoptées dans le traité présent, le théorème de M. Lemon- 

 nier, pour deux équations du même degré, peut s'énoncer de la manière: 



Pour que les deux équations (1) aient n racines communes^ et fi seules, 

 il faut et il suffit que 



et que^ en même temps, Ai"' ne soit pas égal ii zéro. 

 Ici nous avons, comme auparavant. 



Al"' = 





, • . . , ''o,ii— 1- 



1 ■ • • 7 Cl.n—l- 



n— 1— e.»— i— e 



et par A^'^j;. nous désignons ce qu'on obtient de A 1^'^^, en y remplaçant 

 les éléments de la dernière colonne par 



6o,„_,_;., c,,,,^!.;.. 



On voit que A^i,,^_i 



Par suite les mineurs qui, dans le thé- 



orème de M. Lemonnier, doivent s'évanouir s'obtiennent de A^^^^ ;^, en y 

 faisant successivement ^ = i« — 1, i« — 2, /' — 3, . . . , 0. 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 5 



