36 M. Falk, Sur la Méthoue d'Élimination de Bezout et Cauchy. 



comme le montre l'exemple suivant que, en forme un peu modifiée, nous 

 empruntons au Traité de M. Lemonnier (Seconde partie, V., ex. 7): 



ü* — 4,r — 2 = 0, 

 r* — 2.r—l = 0. 



Le système dérivé de ces équations est: 



d'où 



. .r* + . x' + 2,c +1 = 0, 



0..7'-^+ 2.y'+ ,r + = 0, 



2.r'' + .r' + Ü . ,/■ + = 0, 



,'r* + 0.,7"'' + 0.,r + = 0, 



i)W = 



0, 0, 2, 1 



0, 2, 1, 

 2, 1, 0, 



1, 0, 0, 



Les équations données n'ont donc aucune racine commune. Mais, mal- 

 gré cela, les conditions de M. Biehler pour l'existence de trois racines J 

 communes sont évidemment remplies, car ces conditions sont ici: 



= 0. 



Le théorème de M. Biehler contient, par suite, des conditions insuffi- 

 santes. 



Quant aux deux expositions exactes des conditions pour l'existence 

 de j) racines communes à deux équations algébriques, celle de M. Rou- 

 CHÉ et celle de M. Lemonnier, celle-ci l'emporte sur celle-là, en ce que 

 les déterminants à traiter y sont d'un degré moins élevé; mais, d'un 

 autre côté, le théorème de M. Rouché a l'avantage de ne contenir que 

 des déterminants tJ.i/mctriques. Et, en m'appuyant sur mon théorème X, 

 je crois que, au point de vue théorique, le théorème de M. Rouché 

 exprime de la manière la plus directe et naturelle les conditions men- 

 tionnées. 



