1 



111 t'olgendeu wird die Frage behandelt: Wenn zwei Curven C und C 

 in irgend einer Verwandtschaft mit einander sind, welche Singularität in 

 ('' entspricht einer gegebenen C-Singularität? Für diesen Zweck benut- 

 zen wir eine Reihen-Entwickelung der Coordinaten, analog mit der von 

 Clebsch für unicursale Curven gefundenen rationalen Substitution. 



Diese Methode wenden wir dann auf drei Fälle an, nämlich wenn 

 C die Evolute der Curve C ist, oder ihre Parallelcurve, oder daraus 

 durch quadratische Transformation gebildet. Aus den so erhaltenen Re- 

 sultaten können in der That die entsprechenden für die meisten, gewöhn- 

 lich in Frage kommenden Fälle leicht hergeleitet werden. Von quadra- 

 tischen Transformationen (wovon die circulare Inversion bekanntlich nur 

 eine Specialität ist) können ja alle für die ganze Ebene eindeutigen 

 Transformationen (die Creraona'schen) zusammengesetzt werden; die Tan- 

 genten-Fusspunktcurve einer Curve (' ist die Inverse ihrer Reciproken, 

 ihre negative Fusspunktcurve dagegen die Reciproke ihrer Inversen ; die 

 Normalen-Fusspunktcurve ist die Fusspunktcurve der Evolute, und die 

 Retlexions-Brennlinie die Evolute der Fusspunktcurve. 



Die Lösung des hier behandelten Problems ist, wenigstens was die 

 beiden erstgenannten Oerter betrifft, eine nothwendige Bedingung um die 

 mehrmals behandelte Frage von der Bestimmung ihrer PLÜCKER'schen 

 Charaktere vollständig beantworten zu können. Um nur von den Evolu- 

 ten zu reden, ist es noch nicht gelungen und wird wohl auch niemals 

 gelingen ihre Charaktere durch in allen Fällen richtige Formeln auszu- 

 drücken. In dieser Beziehung mag es hinreichend sein auf die unseres- 

 wissens bisher vollständigste Untersuchung über diesen Gegenstand 

 (Cayley, On evolutes and parallel curves, Quarterly Journal of Mathema- 

 tics, Vol. XI, S. 183) hinzuweisen, wo der berühmte Verfasser eine sehr 

 ausführliche Tabelle aufstellt über die Veränderungen, welche die Ord- 

 nung, Classe, Spitz- und Inflexions-Zahlen der Evolute erfahren, wenn 



Nova Aota Refr. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 1 



