2 C. F. E. Bjôrling, Über entsprechende Singularitäten 



die Evolvente unendliche vSingularitäten hat, ohne jedoch, nach seinem eige- 

 nen Geständnisse ^), das Problem vollständig gelöst zu haben. Und jedoch 

 sind eben jene Specialfälle die gewissermassen wichtigsten, da sie in der 

 That fast die einzigen sind, die in der Praktik zu behandeln in Frage 

 kommen können, wie es sich schon aus den Thatsachen ergiebt, dass 

 die Evolute der allgemeinen Curve dritten Grades von der 18*"" Ord- 

 nung mit 108 doppelten und 27 Rückkehr-Punkten ist, diejenige aber 

 der allgemeinen Curve vierten Grades von der 36'*''"" Ordnung mit 532 

 doppelten und 60 Rückkehr-Punkten. 



Von Formeln für die Charakterbestimmung wird es auch nicht im 

 folgenden Frage, wohl aber von Methoden, die, wie wir hoffen, in allen 

 Fällen für diesen Zweck hinreichend sein werden. 



Letztens sei hier bemerkt, dass wir hier immer die Coëfficienten der 

 Curvengleichungen reell voraussetzen, und folglich dass die Cnrven sich 

 in den beiden unendlichen Kreispunkten /, ./ sich an derselben Weise 

 verhalten, sowie mit : = immer die oo-Linie verstehen. 



§ 1. Die Punktcoordinaten x^ i/, z einer Curve seien rational aus- 

 gedrückt in einem Parameter «t, kurz 



^ ^ <?(*) 4W /W 



wo (p, -v^, /" ganze Funktionen sind ^). Jedem «4-Werthe entspricht dann 

 ein Curvenpunkt, und umgekehrt; jedem Doppelpunkte zwei verschiedene 

 «t-Werthe. Die Parameterwerthe der Schnittpunkte der Curve mit der 

 Geraden 



(2) ux -^ vy -\- WZ = Q , 



ergeben sich aus der Gleichung 



(3) u<p{cC) -f v\{a) + >rf{oC) = . 



Ein solcher Punkt fällt mit seinem nächstfolgenden zusammen, wenn 

 zugleich 



') »I have succeeded», sagt er (1. c. S. 189), »in determining the effect, not for 

 a singular branch of any kind whatever, but for branches of the form y ■=. x^ , 

 xf-^ = x* , etc.» 



'^) Vgl. Clebsch, Über Curven, deren Coordinaten rationale Functionen eines 

 Farameters sind. Borchardts Journ., Bd. 64, S. 43. 



