4 C. F. E. Björling, Über entsprechende Singularitäten 



w(j (wie immer im folgenden) n >- v/t, und M, N, P, nicht Null voraus- 

 gesetzt werden, so geht die Curve für a, = Q durch den Anfangspunkt 0, 

 hat mit ihrer Tangente y = Q eine n-Punktsberührung und schneidet 

 jede andere durch gehende Gerade in m Punkten. Die Singularität 

 des betreffenden Curvenzweiges in enthält m — 1 Rückkehrpunkte, denn 

 die Gleichungen (5) lassen m — 1 Lösungen ä = zu. 

 Aus (7) erhält man, nach Verkürzung mit «."'"' . 



(12) .... <i>(ä) = - NPncc"-'" + NP,(l~7iy-'"+' +...., 



(13) ... . ■+•(<*) = ÄfPm + [M,P(m + 1) + MP,(m-l)]ct +...., 



(14) .... F{c(,) = MN(^n.—my + [M,N{H~ia—l) + 



+ ÄfX,(n-m + 1)>"^> +.... 



üa der erste Coefticient jeder Zeile nicht verschwinden kann, so 

 folgt hieraus, dass die Tangente in 0, von diesem Punkte aus yezogen^ für 

 ft-fach, sonst aber für (n — ??j)-fach gilt, sowie dass die betreffende Sin- 

 gularität n — m — 1 Rückkehr- oder Intlexions-Tangcnten enthält '). 



üer Curvenzweig kann, wie man leicht findet, in vier verschiede- 

 ne Formen darbieten, jenachdem 



l:o) n gerade, m ungerade (Parabel-Typus), 

 2:o) n und m ungerade (Inflexions-Typus), 



3:o) n ungerade, m gerade (Spitz-Typiis erster Art), 

 4:o) n und m gerade ( » » zweiter Art) 



sind. 



Die Anzahlen der Glieder und die Grade der Funktionen (p, -^^ f 

 haben auf sämmtliche diese Resultate keinen Einfluss; dieselben behalten 

 also ihre Gültigkeit, auch wenn diese Fiuiktionen unendliche converffirende 

 Dignitätsr eilten sind. 



') Die Anzahlen ô' und t' ilor in enthaltenen (damit »eqvivalenten») Doppel- 

 punkte und Doppeltangenten hangen dagegen nieht nur von n und iii, sondern auch 

 von den Exponenten der folgenden Glieder ab, insof'ei-n nicht u und in relative Prim- 

 zahlen sind. In solchem Falle ist 



Ô' = -On—\)(n—.^, t' = -(«-;;(— 1)(M -3) . 



Siehe z. B. »Gm eqvivalenter tili högre singulariteter i plana algebraiska kur- 

 vor» vom Verf. (Öfvers. af Kongl. Vet. Ak:ns Förh., 1878. N:o 7). 



