IN ALGEBRAISCHEN EBENEN CuRVEN. 5 



Nach den beiden Zahlen n, in — »dem ersten und zweiten Index 

 des Punktes — benennen wir denselben einen (?i, ?«)-Punkt. Ein 

 (2, 1)-Punkt ist also ein gewöhnlicher, nicht singulärer '); ein (3, 2)- 

 Pnnkt eine Spitze, ein (3, 1)-Punkt eine Inflexion. Ein (?i, 1)-Punkt 

 enthält offenbar nur Liniensingularitäten (doppelte und Rückkehr-Tan- 

 genten); ein (n, n — 1)-Punkt folglich nur Punktsingularitäten (doppelte 

 und Rückkehr-Punkte). Denn im allgemeinen erhält man, durch Ver- 

 gleichung von (9 — 11) mit (12 — 14): 



Ein (n, i)i)-Fi.mkt ist immer zu einem {ii, n — m)-Funkte recijjrok. 



Wenn die Gleichung einer Curve gegeben ist, kann man bekannt- 

 lich eine, in endlicher Umgebung eines gegebenen ihrer Punkte gültige, 

 Entwickelung von y nach steigenden, ganzen oder gebrochenen Potenzen 

 von ,(• erhalten, wenn man in diesen Punkt verlegt und die Tangente 

 des betreffenden (Jurvenzweiges zur x-Axe nimmt; nämlich 



(15) ....// = y(Mf + ^v,((.o) '" + x((,f)) "'+.... 



Wir setzen dann 



(16) V = «.'", also // = Xa," -f N,cc"+' -f X,c^'+' + . . . . 



und nehmen im folgenden innner die Coordinaten der Curve C in dieser 

 oder analoger Form ausgedrückt an. 



EVOLUTEN. 



§ 3. Die Evolute E ist die Enveloppe der Normalen der Original- 

 curve oder Evolvente C; bei der Untersuchung ihrer Singularitäten ver- 

 fahren wir also folgendermassen. Die C-Normale sei 



(17) >i^ + tri + »i = 0; 



«, t', IV sind also die Liniencoordinaten der Evolute oder die Punktcoor- 

 dinaten ihrer reciproken Curve RE; aus der Beschaffenheit dieser letzten 

 im betreffenden Punkte ergiebt sich nach dem Principe der Dualität un- 

 mittelbar diejenige der Evolute. 



') Womit natürlich nicht ausgeschlossen ist, dass durch denselben Punkt der 

 Ebene ein anderer Zweig derselben Curve, wozu ein anderer «-Wertli und andere a- 

 Entwickelung gehören, gehen kann. 



