IN ALGEBRAISCHEN EBENEN CuRVEN. ? 



Die Curve RE geht also immer durch den Punkt v = ir = ; die 

 Evolute berührt folglich x = 0, wie im voraus ersichtlich war. Übrigens 

 müssen aber drei Fälle unterschieden werden : 



a,) n >■ 2?n, also n — m >• m. RE berührt v = O und hat (yi — »t, ni)- 

 Punkt; E geht also durch x = : = Q^ welcher (n — m^ n — 2;/i)-Punkt ist. 

 Fig. 1—4 zeigen die Formen und gegenseitige Stellung der beiden Cur- 

 ven in den vier obengenannten Fällen. Es entsj^richt nämlich, wie man 

 durch Untersuchung der Indices sogleich findet, 



der Parabel-Form in C eine Spitz-Form 1" Art in E^ 



» Inflexions- y> » » » Parabel » » » , 



» Spitz- » 1" Art » )) » Inflex.- » » » , 



» » » 2" Art » » » Spitz- )) 2"' Art » )> . 



a^ n = 2î«, n—m = in. RE berührt weder w = 0, noch iv = 0, weil 

 die niedrigste at-Dignität in (21) und (22) dieselbe ist. Durch Elimina- 

 tion von a'" zwischen diesen erhält man 



(23) ....« + 2Nw = ]Sf,(2m + 1)^'"+* + N,(2m -f 2)«'"+^ -f- 



— éN'ma.'"' — 2N'N,{4:m -f iy'"'+' — 



RE berührt folglich v + 2Nir = und hat da im allgemeinen einen 

 (wt + 1, ?/i)-Punkt. Weil aber sowohl der erste, als auch mehrere fol- 

 gende Reihen-Coëfficienten in (23) verschwinden können, so können die 

 Indices auch (n* + r, ni) werden, wo r eine positive ganze Zahl ist. 

 Hieraus folgt nach dem Principe der Dualität: E geht durch den Punkt 



- = '- = -^ , welcher im allgemeinen ein (m -j- 1, 1), aber in beson- 



deren Fällen ein (»t + r., r) ist. 



Weil n = 2rii ist, muss dieser Index gerade sein; C muss also ent- 

 weder Parabel- oder Spitz-Form zweiter Art haben. Fig. 5, 6 stellen 

 die Curven C und E dar im ersten Falle für resp. r ungerade und ge- 

 rade; Fig. 7, 8 im zweiten Falle. 



Einem geicühnlichen C-Punkte (2, 1) entspricht also im allgemeinen 

 ein ebensolcher in E., aber in besonderen Fällen ein (r + 1, ?•). Der 

 letztere enthält r — 1 Rückkehrpunkte, aber offenbar niemals eine Rück- 

 kehrtangente. 



«j) n < 2r«, n — m <. m. RE berührt lo = und hat (/?j, n — m)- 

 Punkt; E geht also durch 0, welcher (?ji, 2m — ?i)-Punkt ist. Fig. 9 — 12 

 zeisren die beiden Curven. 



