12 C. F. E. B.jùRLiNG, Über entsprechende Singularitäten 



l:o) endliche. Ihre Zahl ist gleich derjeuigeu dei- endlichen 6-Tan- 

 genten, die aus dem unendlichen, mit P in Bezug auf /, ./ harmonisch 

 konjugirten Punkte P' gezogen werden können ; also gleich der Classen- 

 zahl V der Evolvente, vermindert — insofern die oc -Linie die Evolvente 

 berührt — mit der Zahl, welche angiebt, wie vielfach diese unendliche 

 C-Tangente, von P' aus gezogen, ist. 



2:o) die unendliche Gerade selbst. Wie vielfache ^'-Tangente die- 

 selbe, von P aus gezogen, ist, ergiebt sich durch Untersuchung (nach c) 

 d)) der den unendlichen C-Punkten entsprechenden i?-Punkte. (In den 

 im Falle a) entstehenden unendlichen TïJ-Punkten berührt dagegen diese 

 Curve niemals die oo-Linie). 



§ 11. Infle.cionen der Evolute können entstehen sowohl 

 l:o) im Falle d). Der einem [n, 7?i)-Punkte von C entsprechende E- 

 Punkt enthält nämlich (§ 4) 



«j) für n >■ 2m m — 1 Inflexionen 



a^) » n = 2 m ni — 1 » 



ag) » n ■< 2?». ?i — m — 1 ■» . 



Die 6-Singularitäten müssen also in dieser Beziehung jede für sich 

 untersucht werden, doch offenbar nicht^ /renn sie nur Liniensingidaritäten 

 (fl. h. m = 1) sind. 



2:o) im Falle ft), wo die 6-Inflexionen sich in ebenso viele E-\nQ.e- 

 xionen umsetzen. 



3:o) in c) imd d). Die den imendlichen C-Punkten entsprechenden 

 ^-Punkte müssen also jeder für sich untersucht werden '). 



') Wir Stelleu hier einige bisweilen angeführte »Sätze über Evoluten« zusam- 

 men, deren Gültigkeit wenigstens sehr beschränkt ist. 



A) »Die Evolute kann niemals endliche InÜexionspunkte haben». 

 Der Satz ist nicht wahr. Als Beispiele führen wir dagegen au: 



1) Ein gewöhnlicher »Point de rebroussement de seconde espèce» in C erzeugt 

 eine Inflexiou in der Evolute. Siehe § 4, a^) hier oben und Fig. 7; die Indices des C- 

 Punktes sind 4, 2. 



2) Die Evolute der Curve y'" = nx^ hat eine, diejenige der Curve iß = ax^ drei 

 Inflexionen in 0. 



.3) Eine Intiexionstangente der Evolvente, die durch Kreispunkt geht, giebt 

 eine ähnliche in der Evolute. (Dieses ist in Salmon-Fiedleh, Höh. Eb. Curven, 

 S. 112 bemerkt, aber in der folgenden Formel t,' = s -^- a wieder bei Seite gelassen). 



i?) »Die Ordnung und die Classe der Evolute einer Curve imd der Evolute 

 ihren Keciprocalcurve stimmen überein». Eine Ellipse und eine Parabel können sehr 

 wohl reciprok zu einander sein; die Ordnungs- und Classcn-Zahlen der Evolute sind 

 im ersten Falle 6, 4, im zweiten 3, 3. 



