IN ALGERRAISCHEN EBENEN CuRVEN. 13 



§ 12. Wir erwähnen zum letzten einige Beispiele. 



Wenn C vom dritten Grade ist, kann die Ordnimg der Evolute (die 

 im allgemeinen 18 ist) bis vier sinken. Dieses eintrifft 



wenn C eine einzige Inflexion hat und entweder in derselben die 

 oo-Linie berührt (»divergirende Parabel mit Spitze);)), oder cirkulär ist 

 (»Cissoïde») ; 



oder wenn C drei luflexionen hat und in einer von ihnen die cx)-Li- 

 nie berührt (»divergirende Parabel mit Doppelpunkt»), während die bei- 

 den übrigen Rückkehrtangenten durch Kreispunkte gehen. Z. B. Die Curve 

 9(11/' = .r{x—3ay hat die Evolute 



256a(a—2xy + 288ay-(7a_6.r) = 81^* . 



Die Ordnung der Evoluten der Curven eierten Grades ist im allge- 

 meinsten Falle 36, kann aber bis vier sinken. Dieses eintrifft z. B. 



für bicirkuläre Evolventen mit den Charakteren /* = 4, <^^ = 2, x = 1, 

 1/ = 5, T = 2, *= 4; 



und für Evolventen mit drei Rückkehrpunkten, wenn entweder zwei 

 von diesen in /, J belegen sind (»Cardioïde»), oder die Curve die oc-Li- 

 nie in /, J berührt (»Dreispitzige Hypocycloide»). In den beiden letzten 

 Fällen ist die Evolute der Evolvente ganz ähnlich. 



Auch unter Curven vom fünften^ und sogar unter denjenigen vom 

 sechsten Grade trifft man solche mit Evoluten von dem vierten. Ein Bei- 

 spiel der letzten Art bietet eine tricirculäre Curve mit den Charakteren 

 yM. = 6, J" = 6, ;6 = 4, 1/ = 6, T = 6, < = 4, deren Coordinaten, rational aus- 

 gedrückt, sind 



_ y _ 



a.\a,' + 4*''— 1) U^ («' + 1) (ä* 4- 6«- + 1) ' 



C) »Die endlichen InÜexionen der Evolvente erzeugen ebensoviele unendliche 

 Punkte der Evolute». Dieses ist nicht wahr, erstens wenn die Inflexionstangente durch 

 Kreispunkt geht, zweitens wenn die Intlexionen mit Punktsingularitäten verbunden 

 sind (§ 9). Kommt das letztere in einem (w, m)-Punkte von C vor, so werden für 

 n < 2m gar Jceine unendlichen iJ-Punkte davon erzeugt, obgleich der C-Punkt n — m — 1 

 Inliexionen enthält; für n^2m freilich n — 2«« unendliche £-Punkte, welche Zahl 

 jedoch mit der soeben genannten n — in — 1 nur für m = 1 übereinstimmt. 



