IN ALGEBRAISCHEN EBENEN CuKVEN. 15 



Die dem Punkte der Originalcurve eutsprechenden beiden Punkte 

 von P sind also *' = 0, y = + k^ und die Tangenten der letzten y = + ^', 

 wie im voraus zu erwarten war. Übrigens müssen dieselben drei Fälle 

 wie in § 4 unterschieden werden. 



aj n >■ 2??i, also n ■< 2(n — m). a." ist die niedrigste a-Dignität in 

 (48); die Indices der ßP sind also {n, n — m), diejenigen der Parallel- 

 curve folglich (/i, m), oder diese letztere hat in beiden Punkten dieselbe Sin- 

 yalarität wie die Originalcurve. Dieses hängt offenbar davon ab, dass der 

 entsprechende Krümmungs-Mittelpunkt unendlich entfernt ist. 



a^) n = 2m, also n = 2{n — ni). Die Indices sind im allgemeinen die- 

 selben als im vorigen Falle; für ein specielles k verschwindet aber der 

 Coefficient der niedrigsten a-Dignität in (48) (und möglicherweise auch 



mehrere folgende), nämlich für k = — — i d. h. = dem Krümmungsra- 

 dius der Originalcurve in (§ 4, aj). Die i?P-Indices sind dann 

 {2m -\- r, 7?i), die P-Indices also (2in + r, m + ?■), wo r eine positive ganze 

 Zahl ist. 



aj) « < 2in.i also n > 2(/i — m). Die i?P-Indices sind [2(n — j>i), n — m], 

 die P-Indices also dieselben. Fig. 21 — 24 zeigen für die vier obenge- 

 nannten (§ 2) Fälle die Formen sowohl der Original- und der Parallel- 

 curve, als der zugehörigen Evolute *). Die erste und dritte Curve sind 

 vollzogen, die zweite nur punktirt. Dieselben Figuren zeigen auch die 

 Formen der Curven im vorigen Falle rt„); nur muss man dann eine der 

 punktirten Curven als Original betrachten. 



Es sei auch bemerkt, dass in den beiden Fällen aj und a^) die An- 

 zahl der in jedem der beiden P-Punkte enthaltenen Inßexionen immer 

 dieselbe ist als in dem entsprechenden C-Punkte, nämlich n — m — 1. 



§ 15. b) Die C-Coordinaten x, y seien wie in (24), (25) ausgedrückt; 

 es ergiebt sich daraus für PP 



(49) . . . « = Uli -f Nna."-"' -f iV,(/i -f l)=6"-"'+' -f . . . . , y = — »i , 



also 



(50) « -I- üi = ^Vn*"-'" -f A\(n + l)a"-'"+' , 



') Man vergleiche hiermit Fig. 9 — 12. Die Curven C und P müssen natürlich 

 ihre Concavität gegen einander wenden, wenn der gemeinsame Krümmungs-Mittclpunkt 

 zwischen beiden liegt. 



