16 C. F. E. Björling, Über entsprechende Singularitäten 

 und 



(51) w = N(ln-ny^+^\(m-nAy'-'' + ...±kV2N'mnict"-'"+2Nlm{n+l)m' '+.. 



= N(^m-n)ci" + . . . + A'Ä 2 V 2Nmni + 2N^m{n + \)ia. + . . . . 



Die beiden «. = entsprechenden P-Punkte fallen also hier zusam- 

 men. RP berührt die Gerade u -\- vi = im Punkte - = - = — ; 



^ 1 ? 0' 



P also die 6-Tangeute y = xi in ihrem unendlichen Punkte. Übrigens müs- 

 sen aber zwei Fälle unterschieden werden : 



6j) n — m gerade. Der Ausdruck in (51) wird, nach Entwickelung 

 der Quadratwurzel, rational in a; die beiden i?P-Punkte gehören also, 

 wie im vorigen §, zwei verschiedenen Zweigen an; die Indices sind 



(n — »;i, ) • Dasselbe gilt folglich von der Parallelcurve. 



^2) ^ — "' ungerade. Um den Ausdruck in (51) rational zu machen, 



führen wir einen neuen Parameter ß ein, setzend ß'' = a, also ß = -^ a/ . 

 Daraus folgt 



(52) u + vi = iYn/3^'"-""+ .... 



(53) ... >(■ = N(in—n)(^"' + .... + kß"-"' \2Nmni + 2N^m(ii + l)?/3^-f- . . . , 



und die beiden i?P-Punkte gehören also zu einem einzigen Zweige mit den 

 Indices [2(?i — ni), n — ??i]. Dasselbe gilt folglich von der Parallelcurve. 



Eine (n — ?H)-fache Focaltangeute der Originalcurve giebt also immer 

 n — m unendliche Punkte der Parallelcurve, aber diese sind auf zwei ver- 

 schiedene Zweige vertheilt oder nicht, jenachdem n — m gerade oder un- 

 gerade ist. Die Singularitäten und besonders (was hier von Wichtigkeit 

 ist) die Zahl der Inflexionen der letzten Curve werden also in den bei- 

 den Fällen sehr verschieden. 



§ 16. c) Der C-Punkt sei, wie in § 6, .v = c = ü; wir unterscheiden 

 dieselben zwei Fälle wie dort. 



c,) Wenn x = die C-Taugente ist, ergiebt sich aus (30) für BP 



(54) .... M = «i, v = A\n — m^a," + A\(n—)n + 1)«"+' -|- , 



(55) . . w = — Å-ncc"^"' — ±k]' m- + lX{n—m)a:' -f ]- , 



