18 C. F. E. Bjôrling, Über ENTsrRECHENDK Singularitäten 



Jj) Wenn x = v/ die 6-Taugente ist, ergiebt sich aus (35) für EF 



(59) iu -\-v = N(ii—m)A" -f N^{n—m + 1)«."+' -f . . . . , 



(60) ir = — Nva!'-'" — NX'i + 1)^"^'"+' — ± 



+ /L- V 2Nm{m—n)ia:' + 2N^m{m—n—l)ic(."+' + 



RP berührt also in -\- v = Q im Punkte - = - = — ; die Parallel- 



i 1 



curve folglich die C-Tangente x = iy in ihrem unendlichen Punkte ^). 

 Übrigens müssen wir aber unterscheiden 



rfjj) 11 gerade. Der Ausdruck in (60) wird, nach Entwickelung der 

 Quadratwurzel, rational in a; die beiden RP-^ und folglich auch die bei- 

 den P-Punkte gehören zweien verschiedenen Zvehjen an. Die Indices werden 



für n < 2to, also n — m < - : RP {n, n — m), also P (h, vi); 



)) n = 2?n, = . . : Dieselben (doch mit Ausnahme für ein 



specielles /■); 



» n > 2hi, >.. : RP und P (n, '^\ • 



c/jj n ungerade. Um den Ausdruck in (60) rational zu machen, 

 setzen wir, wie in § 15, è^), « = /3". Daraus folgt 



(61) iii + v = N{n—m)(S'" -f . . . . , 



(62) ...w = — A^7i/3^("-"" — .... + Ä,'/3"V2A^m(m-n)/+2AV«(m-'ft-l)'F+..., 



') Ein bemerkcuswerther Ausnahmefall imiss jedoch hier angeführt werden. 

 Wenn n = 2in ist, verschwindet für ein specielles k der Coefficient der niedrigsten 

 a-Dignität in (60), und möglicherweise auch mehrere folgende. Es kann sich dann 

 ereignen, dass der Exponent der niedrigsten übrigbleibenden a-Dignität in (60) grösser 

 wird als n. In solchem Falle berührt RP die Gerade iv = 0, und der entsprechende 

 P-Punkt wird endlich. Hieraus erklärt es sich, wie im Falle uneigentlicher (d. h. 

 zerfallender) Parallelcurven die Ordnung des einen Bestandtheiles bisweilen niedriger 

 sein kann als diejenige des Originals; einem unendlichen, in / oder J belegenen 

 Punkte des letzten kann nämlich ein endlicher Punkt des ersten entsprechen. 



