20 C. F. E. Bjôrling, Über entsprechende Singularitäten 



flexionen können dabei verloren gehen, sowie auch neue solche hinzu- 

 treten ^). 



§ 20. AVenn die Originalcurve unicursal ist, und ihre Liuiencoordi- 

 naten m, v, w sich folglich als rationale und ganze Funktionen t/:ten Gra- 

 des von einem Parameter darstellen lassen, kann das Geschlecht der Pa- 

 rallelcurve leicht gefunden werden und somit zur Contrôle der Charak- 

 terbestimmung dienen. Die Linieucoordinaten (w, y, ic + k Vu^ -\- r^) die- 

 ser letzten Curve werden nämlich dann rational bis auf die Quadratwur- 

 zel aus einem Ausdrucke, welcher vom Grade 2v ist, insofern nicht qua- 

 dratische Faktoren sich ausserhalb dem Wurzelzeichen führen lassen. 

 Das Geschlecht einer Curve, deren Coordiuaten rational sind bis auf 

 eine Quadratwurzel aus einem Ausdrucke Ji-ten Grades, ist aber (wie sich 



leicht zeigen lässt) 1 oder , jenachdem n gerade oder unge- 

 rade ist. 



Als Beispiel untersuchen wir die Parallelcurve der Curve î/'" = ax" 

 (n > m, und beide relative Primzahlen). Hier ist ^ = i/ = ?i, S = t = 



= _(n — 2) (n — 3), k = i = n — 2. Die Curve hat einen (n, 7H)-Punkt in 



und einen (n, n — ??i)-Punkt für w = z =:0, sonst keine Singularitäten. Man 

 erhält also v' — 2n, ^' = 4?2 — 2??i, i! = 2n— 4, und hieraus das Geschlecht 



1) Dass der ziemlich allgemein angenomme Regel i = 2f gar nicht ausnahms- 

 los ist, zeigen schon folgende Beispiele : 



1) Die dreispitzige Hypocycloïde hat die Charaktere : /,t = 4, rf = 0, x = 3, 

 t) = 3, r = 1, < = 0; sie berührt die oo-Linie in /, J. Ihre Parallelcurve hat also 

 (§ 17, å^) in jedem dieser Punkte einen Zweig mit den Indices (4, 2), und ihre Cha- 

 raktere werden [i = 8, v = 6, î = 2. 



2) Die Cardioïde und ihre Parallelcurve haben dieselben Charaktere wie die 

 ebeugenannten Curven; der Ursprung der Inflexionen ist aber hier etwas anderer. 

 Die Originalcurve hat nämlich in /, J Spitzen (d. h. (3, 2)-Punkte) mit endlichen 

 Tangenten; P hat also (§ 17, äy^') in jedem dieser Punkte einen Zweig mit den In- 

 dices (6, 4). 



3) Die in § 12 erwähnte Curve 9«?/- = x {x — 3a)- (wo jtt = 3, v = 4, t = 3) 

 hat eine zerfallende Parallelcurve, von welcher jeder Bestandtheil die Charaktere 

 ju' =: 5, r' = 4, t' = 1 hat. Zwei endliche Eückkehrtangentcn der Originalcurve gehen 

 nämlich durch I und J; jeder ihrer (3, ])-Berührungspunkte erzeugt also (§ 15, &,)) 

 zwei (2, 1)-Punkte der Parallelcurve, oder m. a. W. die betreffenden C-Inflexionen 

 gehen verloren. 



