IN ALGEBRAISCHEN EBENEN CuRVEN. 21 



2)' = n—m — 1. Hier können aber u = ka."\ v = la." gesetzt werden, wo 

 die AVerthe der Constanten A,', l gleichgültig sind; also wird V«- _|_ v^ = 



= «'" 1 F -|- /-V"~"'\ welches dasselbe ^^' giebt. 



§ 21. Inwiefern die Parallelciirve in zwei Theile zerfällt oder nicht, 

 ergiebt sich natürlich in jedem einzelnen Falle aus der Charakterbe- 

 stimmung '); dass das erste im allgemeinen nicht eintrifft, hängt offenbar 

 davon ab, dass in Ji) und d) die sonst getrennten beiden Zweige sich 

 gewöhnlich zu einem einzigen vereinigen. Eine nothrendige Bedingung 

 für das Zerfallen ist also, dass eine solche Vereinigung nicht stattfindet, 

 oder m. a. AV., dass immer in 6) n — m, in c?,) n, in d^ m gerade sei. 

 Dagegen ist es nicht nothwendig, dass »die Originalcurve keine Focal- 

 tangenten habe»; in solchem Falle wird freilich jeder Theil der Parallel- 

 curve von gleicher Art mit dem Original, ein Zerfallen kann aber auch 

 andernfalls eintreffen. (Siehe z. B. das dritte Beispiel in der Note S. 20). 



aUADRATISCIIE TRANSFORMATION. 



§ 22. Die Puuktcoordiuaten .r, y/, z der ersten Curve C seien mit 

 denjenigen x\ y', z' der zweiten C" durch die Gleichungen 



(65) ^ ^VL = ^ 



ijz zx xy 



verbunden ^). Es giebt in jeder Ebene drei Fundamentalpunkte 0, P, Q 

 (^x = y = O, .î; = c = O, y = c = 0) und drei entsprechende Fundamental- 

 linien PQ, QO, OP {z = 0, y = 0, X = 0). 



') Die sowohl nothwendige als hinreichende Bedingung für das Zerfallen ist 

 bekanntlich (Salmon, 1. c, S. 122), dass die Liniencoordinatengleichung der Original- 

 curve sich in die Form 





wo ç), ^) ganze homogene Funktionen bedeuten, bringen lasse; das Erfüllen dieser 

 Bedingung ist jedoch etwas schwierig zu tmtersuchen, wenn — wie wir hier immer 

 voraussetzen — nur die Puuktcoordinatengleichung der letzten Curve gegeben ist. 

 ■) Salmon, Höh. Eb. Curven, S. .361. 



