116 



d. v. s. hvarje exponent, som satisfierar likheten (10), och 

 således äfven det tal, som hör till a i hänseende till b, är 

 antingen = (f(b) eller en divisor därtill. ^) 



3. Det händer att man vid divisionerna (9) kommer 

 till resten b — 1 (eller, om man så vill, till resten — 1), 

 hvilket alltid inträffar tidigare än man kommer tillresten 1. 

 Antag att detta inträffar vid z::te divisionen, d. v. s. att 

 man får 



ar ^=h b-\-b — 1 



T — 1 T ' 



= (K-}-^]b-u 



T 



då ger multiplikationen af de t första likheterna (9) 



a'''r,r^---r^_^ = r,r^---r^_^-{-M{b), 

 hvaraf följer 



1) Vi skola anföra ett annat, kanske fullständigare ocli strängare 

 bevis för denna viktiga sats och bevisa för detta ändamål först föl- 

 jande teorem: 



Om cH^ — l=M(b) och f/^ — l = M(b), däri m och n är o 

 olika stora, positiva och hela tal, så är äfven a^ — 1 = M (b), då co är 

 största gemensamma divisorn till m och n. 



Tv — och — äro relativa primtal och följaktligen fins det (m > n) 



CO CO 



två hela och positiva tal y och z, hvilka satisfiera den diofantiska lik- 

 heten ^ w — —2^ = 1 eller my — nz=^ca och som äfven o"*^ — 1 = ilf (ft) 



CO CO 



samt a^^ —1 = M(ö), hvaraf följer att a^^ — dP'^ = M(b) eller a^^X 

 {a^y~'^^ — l) = M{b), följer häraf, emedan a^^ är relatift primtal 

 med b, att a^^ -^^ — i= M{b) eller a^^ — l^M (b), h. s. b. 



Är nu t den lägsta exponenten i likheten a — 1 =:M{b) och vi 

 därjämte beakta likheten a^^ ^ — 1 = M (b), så inses att t måste vara 

 divisor till (p{b), ty i motsatt fall skulle vi hafva a^ — l = M{b), däri 



CO är s. g. d. till t och q)(b) och följaktligen en divisor till t och såle- 

 des vore icke t, såsom antaget var, den lägsta exponenten, som satis- 

 fierar likheter a — 1 =M(b). Och härmed är den föresätta satsen be- 

 visad med all stränghet. 



