337 



A = ax^ -\- 2bxy -f- cy^, 



A' = ax''^ + 2lx'ij' + c?/'2, 



aA = {ax 4- hyY -\- (ac — h^) y'^, 



aA' = {ax' + hyy + {ac — b^) y'^, 



a^AA' = ({ax + by) {ax' -\- by') q= {ac — h^) ijy'y + 

 -|- {ac — &2) ({ax + by) y' ± (aa;' + by') y^ (enl. teor. (1)). 

 Efter utförda utvecklingar i högra membrum och likhetens 

 dividerande med a^ erhålles resultatet (2) ^). Teoremet (1), 



^) Föregående satser kunna generaliseras på följande sätt. Om 

 mn = m'n', kan man i allmänhet sätta m = ?.fi, n' = ku', m' = X'fi, 

 n = X'[i'. Därigenom erhålles 



(mx^ + ^y^) (»w'a3'- -j- n''y'-) = XX' (uxx' + (i'yy')' -\- fifi' (Xxy' + X'x'y)- = 

 MX] + NY\ = MX\ + NY\, där MN=XX'ixfi' = mn = m'n'. Häråt 

 ses att produkten af två hinomiska kvadr. former med lika diskriminanter 

 utgöres af en tredje binomisk kvadr. form med samma diskriminant och 

 hvars koordinater ('Zj, F, ; X^; Y^) uttryckas på två särskilda sätt ge- 

 nom faktorernas koordinater. Denna egenskap äga de trinomiska kvadr. 

 formerna i allmänhet icke, emedan produkten af två sådana sönderfaller 

 i två särskilda former, af hvilka hvardera har envärdiga koordinater. 



Är näml. A = avi^ -j- 2buv 4- ev- 1 



; ac — o- = a'c' — o'- = d, 

 A' = a'u''^ -\- '2b'u'v' -(- CV- ) 



har man aA = (au -\- bv)'^ -\- dv'\^ a'Ä' ^{a'u + b'v')- -\-dv'- och följ. 



a) aa'AA' = {{au -\- bv) {a'u' -\- b' v) + dvv'Y + 



+ d ({au -\- bv) V ip {a'u' -\- b'v') vV. 



Ant^gQ?, A A' = aa'U^-\-2q) UY -{-tp V '^^ där aa'tp — (p'^ = d, blir 



/?) aa'AA' = {aa' U-\-q^V)- -\-dV^. Jämförelsen emellan denna likhet och 



likh. a) ger aa'U-\-q:)V = {au -\~ bv) {a'u' -\- b'v') + dvv'^ 

 V = {au -\- bv) V ^^ {a'u' -\~ b'v') v y 



hvarur erhålles, då V elimineras samt d ersattes af aa'ip — cp"- och re- 

 sultatet divideras med aa': 



y) t7 = uW + ipvv -J uv -\ — =^=-^ ii' v 4- ^ ^^ -J-^' yy-_ 



— ' a' 'a ' aa' 



22 



