341 



(3) N=x'^-]-dy^,^) 



N är en produkt af två tal af de Unomiska formerna 

 mx"^ -\- ny^ och mx''^ -\- ny''^^ däri mn = d, satisfieras denna 

 likhet af två olika värdesystem på x och y. Teoremet (2) 

 uttrycker däremot den sanningen, att om N i föregående 

 Kkhet utgöres af två faktorer, hvardera af samma trinomiska 

 form aa;2 -|- 2hxy -\- cy'^, har likheten (3) altid åtminstone en 

 lösning, men endast undantagsvis två, hvilket senare inträffar, 



ifall — ^ är ett helt tal. Består iV af tre faktorer, alla af 

 a 



formen x'^ -\- dy^, har likheten (3), såsom det är lätt att inse 

 4 olika lösningar, för 4 faktorer 8 olika lösningar o. s. v., 

 i allmänhet för i stycken faktorer 2^~^ olika lösningar. Man 

 kan t. o. m. bevisa att, om iV^= tt"/S'*'j''*" • • •, däri «, /9, j" • • 

 äro primtal, hvilka alla framställas af samma kvadratiska 

 form a;2 + dy\ likheten (3) har | {n + 1) {n' + 1) {n" + !)••• 

 olika lösningar. 



Vi skola nu bevisa ömvändningen af våra teorem. 

 Denna ömvändning lyder: har likheten (3) för gifna N och 

 d två olika lösningar (såsom olika lösningar betraktas icke 

 X och y tagna med olika tecken), utgör N en produkt af 

 två faktorer. Antag att 



(4) N=x^-\- dy"- = x"'-\-dy'^ 



och således 



{x 4- x') {x — x') = d{y' -\- y) (i/ — y). 



Är d = mn, så kan m innehållas i x-^x' och n i 

 X — x' (skulle d innehållas \x-\- x\ vore w = 1) och således 



{x-V- x' = mh. 



= nk 



1) På grund af det antagande, att koefficienterna i de ursprung- 

 liga formerna äro relativa primtal, innehåller d ingen kvadratisk faktor. 



