343 



Likheten (10) framställer 4N under formen af en pro- 

 dukt af två faktorer, hvilka hvardera äro af samma bino- 

 miska kvadratiska form med diskriminanter — mn = — d 

 eller samma diskriminant, som tillkommer den ursprungliga 

 formen för iV, och härmed är den föresätta satsen icke alle- 

 nast bevisad, utan jämväl faktorernas form faststäld. Men 

 denna form utesluter i allmänhet ur vår undersökning hvarje 

 N, som vore sammansatt af faktorer af trinomisk form, 

 hvarför den metod för upplösande af tal i faktorer, som 

 grundar sig på föregående utvecklingar, icke är allmän eller 

 lyckas icke på hvarje godtyckligt gifvet tal. Att afhjälpa 

 denna brist i metoden och framställa en generell sådan, 

 skulle föra oss utom de gränser, som vi bestämt för denna 

 uppsats. Vi skola likväl i senare delen däraf angifva en del 

 hjälpmedel mot denna brist. 



Formeln (10) ger oss medel i handen, att bevisa en 

 grundväsentlig egenskap hos primtalen, näml. den, att ett 

 sådant tal icke kan uttryckas på flere än ett sätt medels 

 den kvadratiska formen x^ -\- dy^, då d är ett positivt tal. 

 Här måste uttryckligen sägas att d bör vara positivt tal, ty 

 det inses lätt att, om hkheten N=x^ — dy'^ hdiV en lösmng^ 

 har den oändhgt många lösningar. Det är just denna om- 

 ständighet, som vi genast i början af denna undersökning 

 afsett, i det vi inskränkte de kvadratiska formerna till så- 

 dana med negativ diskriminant. Är N näml. ett primtal, 

 bör i (10) endera faktorn i högra membrum, t. ex. w^^ _|_ ^,,,2 

 vara = 2 eller = 4. Men intetdera antagandet är möjHgt 

 (detta är fallet, oberoende däraf om N är enkelt eller sam- 



hvaraf synes att x är s. g. d. till '~^ ' och ^ "T" — -, x' till — ^-^ — ? 



och -^^^, y till ^^7^^ och -^^^ samt y till ^'~^^ och 



y _|_ Y 

 ^ T^ — -. Därefter blifva äfven jti, ju.', A, X' bestämda, hvilkas riktighet 



därjämte kontrolleras af likheterna M=XX' och N = !i[i'. Vidare är 

 m = Xfi, n = X'{i', m'^X'{i, n' = A,a', och sålunda blifva A:5 faktorer 

 wcp^ -\- ny"^ och m'x''^ -\- n'y'^ bestämda. 



