344 



mansatt tal), enär hvarken u, eller v kan vara = o (hvarken 

 m eller w är = o), såvida x' och y' skola till sina talvärden 

 skilja sig från värdena på x och ?/, d. v. s., såvida hkheten 

 (4) skall tillåta två distinkta lösningar. Vi kunna samman- 

 fatta de erhållna resultaten uti följande sats; 



kvadratiska formen x^ -f" dy"^, däri d är ett positivt tal, 

 framställer primtal endast på ett enda sätt, men satsen är 

 icke omvändhar, ty samma form framställer en del sam- 

 mansatta tal på ett enda sätt, men en annan del på flera 

 olika sätt. 



Finnes genom försök eller på hvilket annat sätt som 

 hälst två lösningar till likhet (3), finnes två faktorer till talet 

 N enl. likheterna (5) — (10). Äger likheten (3) flere än två 

 par olika lösningar, fås med tillhjälp af dem iV" upplöst på 

 flere sätt i två faktorer, ja t. o. m. upplöst i dess primfaktorer. 



Vi skola tillämpa föregående teori på ett antal exem- 

 pel. Det enklaste sätt att få ett gifvet tal N frarastäldt un- 

 der formen x^ -f~ dy'^ består däruti, att man tager x < EV N^ 

 där symbolen E betecknar det hela tal, som närmast före- 

 går V"N. Man får då dy^ = N — (E VNf ^) och blir 

 dy^ = Dn^, däri D icke mera innehåller någon kvadr. fak- 

 tor, och man har till undersökning likheten N = x^ -|- Dy"^. 

 På detta sätt kan N på många olika sätt framställas under 

 kvadr. form. 2) 



1) Vid denna operation är en kvadrattabell en utomordentligt 

 nyttig hjälpreda. 



^) Understundom finnes det vara lämpligare att uttrycka 2N, 3N 

 eller någon annan multipel af A^ under kvadratisk form, hvarigenom 

 förrådet på lämpliga former kan obegränsadt ökas. 



Vi skola på ett exempel visa, huru man af två olika former för 

 ett tal kan härleda en form för en viss multipel af samma tal: 



A = 12739 = 1122 + 3- 5. 13 = 1132 — 2-3.5, 



112^ = — 3.5-13-f ^, 



1132 = 2.5.3 + ^, 



(112-113)2 _ _ 2.13-152 + ^2 _ 165^ = (A — 165) A; 



