372 



Auv + 19y2 (205) = u'^-\- 190^^, o. s. v. 571511 = 11^2 + 

 8uv + ] 9v'' (\9'd) = u^ -\- UV -{- 41^2 (163) = bu"^ -f 26^^ (130) 

 = 3u^ + Siiv + 1 1^2 ( 1 23) = 5z*2 -f 3it v + öy^ (9 1 ) r= lOu^ + 

 10w?;H-llt;2(85) = 2w2 + 39v2, o. s. v. Vi skola af dessa 

 behandla t. ex. likheten 133631 = 1^2^190^2; ^2 = 133631 



■1/133631 



— 190y2, v = 0, 1, 2, 3-.- V . " = 27. För att icke 



behöfva pröfva alla tal emellan O — 27, hvilket skulle nog 

 bekvämt låta sig göra medels differensräkning, modulera vi 

 expressionen 133631 — 190^2 med några tal, t. ex. med 3, 

 4, 7 och 11. Moduleringen med 7 t. ex. utföres på följande 

 sätt: 133631 — 190^2 = 7m + 1 — (7t* + 1) (7Ä; + O, 1, 2, 3, 



4, 5, 6)2 = (när alla multipler af 7 bortkastas) 1 — (O, 1 , 4, 

 2, 2, 4, 1) = 1, O, 4, 6, 6, 4, 0. Enär alla kvadrater, mo- 

 dulerade med 7, gifva till rester endast O, 1, 2, 4, ses att 

 endast tal af formerna 7/r + O, 1, 2, 5, 6 behöfva pröfvas. 

 Genom modulation med samtliga talen 3, 4, 7 och 11 fmnes 

 att af de 28 talen 0—27 endast 1, 5, 19 och 23 kunna 

 komma i fråga. Man finner att af dessa fyra tal endast 

 5 ger en lösning, hvilken utgöres af u = 359 och v = b. 

 Emedan u"^ -\- 190?;2 är en ensam kvadr. form och endast 

 på ett sätt framställer talet 133631, sluta vi häraf med sä- 

 kerhet att detsamma är ett primtal. — Likheten 571511 = 

 u^ -j- UV -f- 41^2 förvandlas genom multiplikation med 4 till 

 2286044 = (2u + vf + 163?;2 = ^2 _j_ 163^2^ ^2 ^ 2286044 — 

 163^2, v = 0, 1, 2,-.- 119. Moduleras expressionen 2286044 



— 163^2 med 3, 5, 7 och 11, finner man att v endast kan 

 vara af formerna 3/<; + l, 2; 5^+0, 1, 4; 7Ä; + 1, 2, 5, 6, 

 hvarför antalet tal, som böra pröfvas, belöper sig till §•§• 

 I -jV 119 = 14 stycken. Dessa äro 1, 19, 29, 34, 40, 41, 

 59, 65, 76, 89, 100, 106. Modulerar man ytterligare med 17, 

 finner man att endast de som äro af formerna 17Ä;-j-3, 4, 



5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14 komma i fråga, hvarför följande 

 tal återstå att pröfva: 29, 40, 59, 65, 76, 89, 106. Men 

 intet af dessa tal löser likheten 2"^ = 2286044 — 163^2, hvaraf 

 vi med säkerhet sluta att vårt ursprungligen glfna tal 571511 

 är sammansatt tal, hvars faktorer icke framställas af någon 



