373 



kvadr. form med diskriminanten 163. Men vi skola söka 

 lösa likheten 571511 = IOh^ + 10ny+ llv^. I stället för 

 att genom multiplikation med 10 förvandla denna till huf- 

 vudformen u^ -f- 85i^^, ^) lösa vi densamma i afseende på 2t, 



-v+V 



1143022— Mv'^ 



hvarigenom fås u = ^ . För att ex- 



pressionen under rotmärket skall blifva helt tal, måste v 

 vara något af talen 1, 9, 11, 19, 21 • • • 259, d. v. s. slutas 

 med siffran 1 eller i). Moduleras nämda expression med 



1) Om A = mu- -\-nv'^ =mu''^ -{-nV^j kan man, utan att, såsom 

 i det föregående skett, genom multiplikation med m öfvergå till lik- 

 heten mA = [muY -j- mnv- = w'* -1- dv'^, finna faktorerna till 4 antingen 

 på det af oss i noten sid. 9 angifna eller ock på följande af Legendre 



föreslagna sätt. Man har — 



U'i y'2 — yZ (u-\-u')(u — u'] 

 = eller ^^ — ^ — 



För att göra synligt det allmännaste fallet att n har 



en faktor gemensam med u-\-u' och en annan faktor gemensam med 

 u — W, något som äf ven gäller m i aiseende på V -\~v och v — v, samt 

 att u-\-u' och v — V kunna ha faktorer gemensamma med V-j-v och 

 V — v, sätta vi n^a^, m = yö samt 



u-\-u' = aMP, v' -\-v = yMQ 



u— u' = §NQ, v — y = öNF 



u = i {aMP + ^NQ), u' = i (aMP— ^NQ), 

 v = { {yMQ — ÖNP), v = I {yMQ + ÖNP). 



Med dessa värden på u, v, u% V erhålles öfverensstämmande 



4A = {ayM-' + ^ÖN^) {abP'- + ^yQ'-) 



eller 44 och således äfven A upplöst i två faktorer. 



För fullständighetens skuld skola vi anföra motsvarande formler 

 för den trinomiska formen au"^ -\- 2buv -\- cv"^. Om A = aa'^-{- 2bay + cy'^, 

 kan man genom den linjära transformationen « ^ cm' -j- /Sv, v ^ yW -f- éw', 

 däri ^ och ö böra bestämmas så att ad — ^y = 1, transformera i fråga 

 varande form till Au'- -\- 2Bu'v' -\- CV^. Vi kunna då sätta A = Au^ -{- 

 2Buv -\- Cv"^ , hvilken likhet satisfieras at m = -j- 1 och v = 0. Men om 

 denna likhet satisfieras ytterligare af ett annat system värden på u och 



