374 



afseende på dess kvadratiskhet med talen 3, 7 ^) och 11, 

 blifva af denna talföljd kvar följande: 11, 29, 49, 59, 71, 

 339, 161, 169, 181, 209, 259. Denna serie reduceras genom 

 utgallring med 13 till 11, 29, 49, 181, 209, 259. Härur fin- 

 nas följande lösningar: 



u = S7 {— 246, bifid rot) \ u' = — 118 (- 141, b. r.)\ 



v = 209 / v' = 259 / • 



Medels dessa erhålles för likheten 10^ = (lOit -f- bv)^ + 8öv^ 



= ^2_|_85y2 lösningarna ^~ ^09/ °^^ J/Z259}' ^"^^^^^ 

 gifva 40^ = (17-52 + 5-262) (17-182 + 5-102) ^ 3805-6008 

 och slutligen JL = 571511 == 761-151. Likheten 571511 = 

 ^2 + 1486^2, däri 1486 = 571511 — (^ K ötTöII)', tiUåter 



jamval tva losmngar: ^ > ocn , ^ , }, och lam- 



V = I ) v= 54} 



nar sålunda den enklaste lösningen af uppgiften i fråga. — 



v, än de anförda, fås Ä upplöst i faktorer på följande sätt. Man har 

 Ä^ = (Au -{- Bvy -\- dv"^ eller A^ — {Au -{-Bvy=dv^== mnv"^. Sätter 

 man nu 



A-\-Au-\-Bv = mM, 

 A— Au — Bv = nN, 



blir MN= v^, hvilken likhet satisfieras af M = 1[j.^, N = Xv^ och 

 v = Xfiv ([i och v relät, primtal). De ofvanstående två likheterna gifva då 



2A = X{mfi- -{-nv"^) 



och således 2A och följaktligen också A upplöst i två faktorer: A och 

 mfi^-\-nv^. {Legendre, Théor. d. Nombr., t. I, pp. 315 — 320.) 



^) Modulationen t. ex. med detta tal sker på följande sätt: man 

 sätter 1143022 — 17w' = 5¥, hvilken likhet, modulerad med 7, gifver 

 7m + 6 — (7w + 3)(7Ä-t-0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)^- = 5(7Z + 0, 1,2,3,4,5,6)2, 

 hvaraf, sedan kvadreringarna värkstälts samt öfveralt multiplerna af 7 

 bortlämnats, erhålles 6—3(0, 1, 4, 2, 2, 4) = 5 (O, 1, 4, 2, 2, 4, 1); 

 6, 3, 1, O, O, 1,3 = O, 5, 6, 3, 3, 6, 5. 1 vänstra memhrum förekom- 

 mande resterna 6, 3, O, O, 3, finnas äfven i högra membrum. Dessa 

 rester svara emot v = lk-\~0, 1, 3, 4, 6, hvarför värden på v af dessa 

 former kunna göra expressionon i fråga till kvadrat. Däremot kan v 

 icke vara af formerna lk-\-2, 5. 



