Zur Iheorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 5 



gelangt. Geometrisch erhält man diese Transformation, indem man zuerst den hyperbolischen 

 Raum (4) durcli orthogonale Projektion auf die Hypersphäre 



x\+ ••• + a;f, + .x'^. + i= 1, 



dann diese vom Puukte a,-, = ■ ■ • = a;„._i = a;,. + , = 0, x,, = 1 aus durch stereographische Projektion 

 auf die Ebene a;„ = abbildet und t"i = a;,,. . ., L.-i = a;„ -i,£„ - x„ + i setzt. Die Transformation 



(6) führt den hyperbolischen Raum, nach Fixierung des Zeichens von ï„, in einen von der Hy- 

 perebene 



(6)' ?„ = 



begrenzten Halbraum über, wo den reellen Hyperebenen zur Ebene (6)' orthogonale Halbhyper- 

 kugeln entsprechen, welche vermittels quadratischer Cremonasubstitutionen, der Transformierten 

 der KoUineationen (1), in einander übergeführt werden. 



Zur Untersuchung der transformierten Gruppe ist es hinreichend, sich auf die iuvariaute 

 Hyperebene (6)' zu beschränken, weil man von dieser aus ohne weiteres die Erscheinungen im 

 ganzen Räume ($i, . . ., ?„) verfolgen kann. 



In den niedersten Fällen n = 2 und n = 3 gelaugt man in dieser Weise zur Darstellung der 

 hyperbolischen Bewegungen und Spiegelungen vermittels linearer Substitutionen 



,,_ at + b 



deren Koeffizienten im Falle n = 2 reelle, im Falle n = 3 komplexe Zahlen sind. 



3. Es sei jetzt r irgendeine Gruppe hyperbolischer Bewegungen (1) ohne infinitesimale 

 Substitutionen. Bekanntlich i) ist jede derartige Gruppe im Räume R^» „eigentlich diskontinuier- 

 lich", d.h. sie besitzt einen 211 -dimensionalen Fundamentalbereich. Für diese Behauptung wer- 

 den wir übrigens aus späteren Überlegungen einen einfachen Beweis erhalten. Unser nächstes 

 Ziel ist die Lösung der folgenden, für die Untersuchung der Singularitäten automorpher Funk- 

 tionen fundamentalen Aufgabe. 



PROBLEM. Die Gesamtheit der vermittels der Substitutionen einer dislcontinuierlichen 

 Oruppe r erhaltenen Transformierten eines beliebigen algebraischen Gebildes zu finden. 

 ■ Wir zeigen zunächst, dass die Ungleichung 



(7) |a„+i,„ + i|< ili, 



wo M eine endliche Grösse ist, nur für endlich viele Substitutionen der diskontinuierlichen 

 Gruppe r bestehen kann. 



Aus der mittleren Gleichung (5) folgen in der Tat die Ungleichungen 



und dann aus den Gleichungen (5)' 



') Vgl. A. HuRWiTZ: Zur Theorie der automorphen Funktionen von beliebig vielen Variabelen, Math. Ann. 

 (1905), und die Arbeiten von G. Fubini, die in der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. ^.--»^ B i •.- 

 Ih S. 468 angefühlt sind. . ' ' - ^ 



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