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Bei Ausführung der Transformation (1) wird dasselbe in das Gebilde 

 (15)' P(LÎ,L2,...,L'„,-L:, + i) = 



übergeführt, wo Li, . . .. L', + i durch (13)' definiert sind. 



Es sei ferner eine beliebige unendliche Folge (8) von Substitutionen in der in N:o 4 ange- 

 gebenen Weise gewählt. Nach N:o 4 kann die Gleichung (15)' in der Form 



(16) P(«„ + i,i(L' + £',) «„M,«(i' + ^»)--«" + i,.. + i(-^'+^« + i)>=0 



geschrieben werden, wo Eu .. ., E„ + i lineare Funktionen sind, deren Koeffizienten beim Grenz- 

 übergang alle gegen Null konvergieren. Weil der Punkt (bi,....b„) nicht dem Gebilde (15) 

 angehört, so ist von einer gewissen Substitution der Reihe (8) an (vgl. (12)") 



Beim Grenzübergange geht somit (15)' in die (einfach oder mehrfach gezählte) Tangentenhyper- 

 ebene L' = des absoluten Gebildes im Punkte (ai,...,a„) über. 



Das Obige enthält den Beweis des folgenden Satzes: 



SATZ. Die Häufungsgebüde der Transformierten jedes {2 n — 2) -dimensionalen algebraischen 

 Gebildes, ivelches Iceinen zur Menge (m) gehörigen Punkt des reellen absoluten Gebildes (4)' etit- 

 hält, bestehen aus den Tangentenhyperebenen des absoluten Gebildes in den Punkten der Menge (m). 



Diese Häufungsgebilde, die im obigen Sinne von der Wahl des Anfangsgebildes unabhängig 

 und also von der Gruppe allein abhängig sind, haben für die Theorie der automorphen Funktio- 

 nen eine fundamentale Bedeutung. Es ist daher zweckmässig, für diese Gebilde die Benennung 

 Hauptgrenzgebilde der Gruppe einzuführen. 



Die obigen Ergebnisse bleiben nicht mehr allgemeingültig, wenn das Anfangsgebilde Punkte 

 der Menge {m) enthält. Neben den Hauptgrenzgebilden können nämlich dann gewisse „spezielle 

 Grenzgebilde"- als Häufungsgebilde von räumlich ausgedehnten Mannigfaltigkeiten auftreten, wie 

 wir im Kap. II sehen werden. 



Man kann die obigen Untersuchungen in viel allgemeinerer Form ausführen, wie wir es 

 tatsächlich in unserer S. 2 zitierten Arbeit getan haben, indem man statt der algebraischen Man- 

 nigfaltigkeiten mit allgemeinen Punktmannigfaltigkeiten operiert. Für das Folgende sind jedoch 

 die obigen Resultate hinreichend, weshalb wir auf die genannte Verallgemeinerung hier nicht 

 eingehen wollen. 



6. Man gewinnt aus dem obigen Satze nnmittelbar das folgende Resultat betreffs der Häu- 

 fung der Transformierten eines einzelnen Punktes. 



SATZ. Die Häufungspunk le der vermittels der Substitutionen von F erhaltenen Bilder eines 

 beliebigen Punktes, der keinem Haiiptgrenzgebilde angehört, bestehen aus sämtlichen Punkten der 

 Menge (m), oder also aus der Gesamtheit der Berührungspunkte der Haiiptgrenzgebilde mit dem 

 absoluten Gebilde (4)'. 



In der Tat folgt aus der gemachten Voraussetzung, dass die Polarenhyperebene des gege- 

 benen Punktes inbezug auf das absolute Gebilde keinen Punkt der Menge (m) enthält. Die 

 Transformierten dieser Ebene vermittels der Gruppe r haben also nach N:o 5 als Grenzgebilde 



Tom. L. 



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