Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 9 



die zn den Punkten von {m) geliöicndon Tangentonhyperebenen, und da die Polarbeziehung sich 

 in der Transformation bewährt, ist unser Satz hiermit bewiesen. 



Die Punkte der Menge (m) wollen wir „Hmtptgrempunkfe" der Gruppe nennen, da sie ge- 

 uieiusanie Greuzpunkte und zwar die einzigen Grenzpunkte sämtlicher ausserhall) der Haupt- 

 grcnzgebilde gelegenen Punkte sind. Wenn der gegebene Punkt einem Hauptgreuzgebilde an- 

 gehört, können dagegen neben den Hauptgrenzpunkten auch „spezielle Grenzpunkie" auftreten. 



7. Bevor wir zur näheren Untersuchung der Hauptgrenzgebilde übergehen, wollen wir erst 

 ihre funktionentheoretisclie Bedeutung darlegen. 



An den Poincaréschen Gedankengang anknüpfend sucht Picard automorphe Funktionen 

 mehrerer Veränderlichen durch Quotienten von Reihen der Form 



2^(-^-'.^'= ^4 ^'::S:':^) ]' 



darzustellen, wo H eine rationale Funktion bedeutet und die Summierung sich über die Gesamt- 

 heit der Substitutionen der gegebenen Gruppe erstreckt. 



Man kann zur Bildung automorpher Funktionen auch Reihen anwenden, die durch Verall- 

 gemeinerung der in unserer S. 3 genannten Arbeit gegebenen Reihen auf beliebig viele Verän- 

 derliche erhalten werden, wie wir im dritten Teile dieser Abhandlung zeigen werden. 



Alle diese Reihen definieren, wenn sie gleichmässig konvergieren, analytische Funktionen, 

 die im allgemeinen, d. h. wenn keine zufällige Kompensation auftritt, für die Unstetigkeitsgebilde 

 der einzelnen Glieder algebraisch unstetig werden. Die Gesamtheit der algebraischen Unstetig- 

 keitsgebilde dieser Funktionen besteht demnach teils aus den Transformierten der Unstetigkeits- 

 gebilde der rationalen Funktion H, teils aus den vermittels der verschiedenen Substitutionen der 

 Gruppe erhalteneu Transformierten der unendlich fernen Hyperebene, d. h. aus den Flucht- 

 hj'perebenen L'„ + i = oder L„ + \ = 0, welche Unstetigkeitsgebilde der in (17) auftretenden 

 Fuuktionaldeterminanten sind. 



Wenn wir besonders annehmen, dass die in den Reihen (17) auftretenden rationalen Funk- 

 tionen H in den Hauptgrenzpunkten {vt) endliche Werte besitzen, so haben die mittels dieser 

 Reihen gebildeten automorphen und verwandten Transzendenten die ausgezeichnete Eigenschaft, 

 nur solche wesentliche Singularitäten zu besitzen, deren Lage von der Gruppe allein abhängt. 

 Für diese „eigentlichen automorphen Transzendenten", wie wir sie nennen wollen, haben wir nach 

 dem Vorhergehenden den 



SATZ. Die wesentlichen Singularitäten der eigentlichen automorphen Transzendenten bestehen 

 aus der Gesamtheit der Hauptgrenzgebilde der Gruppe, deren Lage von der Gruppe allein ab- 

 hängt. Für alle diesen Gebilden nicht ungehörigen Stellen des Baumes Äa« besitzen jene Funk- 

 tionen rationalen Charakter. 



8. Die obigen Ergebnisse führen mit- Notwendigkeit zu einer neuen Auffassung der 

 Gruppendiskontinuität bei den automorphen Funktionen zweier und mehrerer Veränderlichen. 



Im Falle einer Veränderlichen spielen die Grenzpunkte der Gruppe eine wichtige Rolle 

 als die einzigen wesentlich singulären Stellen der zur Gruppe gehörigen, mittels Reihen der 

 Poincaréschen Typus gebildeten automorphen Funktionen. 

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