10 p. J. Myrberg. 



la der Theorie der automorphen Funktionen zweier und mehrerer Veränderlichen kommt, 

 nach den obigen Resultaten, die entsprechende Bedeutung den Punkten der Hauptgrenzgebilde 

 zu. Die Gesamtheit dieser Punkte wird aber hier nicht durch Häufung einzelner Punkte erhal- 

 ten, wie bei den Gruppen einer Veränderlichen, sondern durch Häufung räumlich ausgedehnter 

 Mannigfaltigkeiten, weshalb die Hauptgrenzgebilde als „spatiale Diskontinuitäten" der betreffen- 

 den Gruppen bezeichnet werden können. Nach unseren Resultaten besitzt die spatiale Diskon- 

 tinuität im Falle zweier und mehrerer Veränderlichen dieselbe funktionentheoretische Bedeutung 

 wie die punktuelle Diskontinuität im Falle einer Veränderlichen. 



Durch die Einführung des neuen Diskontinuitätsbegriffs wird eine volle Analogie in der 

 Theorie der wesentlichen Singularitäten der automorphen Funktionen einer und mehrerer Verän- 

 derlichen erreicht. 



Die obigen Resultate behalten ihre Gültigkeit für viel allgemeinere Klassen automorpher 

 Gruppen, wie wir bei anderer Gelegenheit zeigen werden. 



II. Bestimmung der wesentlichen Singularitäten bei verschie- 

 denen Klassen diskontinuierlicher Gruppen. 



9. Wir wollen mit der Untersuchung derjenigen diskontinuierlichen Gruppen beginnen, deren 

 Hauptgrenzpunkte aus der Gesamtheit der Punkte des reellen absoluten Gebildes (4)' bestehen. 



Das einfachste Beispiel solcher Gruppen besitzt man in der Gruppe G„ aller Kollineationen 

 (1) mit ganzzahligen reellen Koeffizienten. Dies sieht man unmittelbar in den beiden niedersten 

 Fällen durch Betrachtung der zugeordneten Gruppen linearer Substitutionen (vgl. N:o 2). Im 

 Falle w = 2 erhält man nämlich Gj durch Transformation einer Untergruppe der Modulgruppe, 

 welche nur ausserhalb der reellen Achse diskontinuierlich ist. In ähnlicher Weise ergibt sich im 

 Falle n = 3 die Gruppe G^ durch Transformation einer Untergruppe der Picardschen Gruppe, 

 d. h. der Gruppe aller linearen Substitutionen mit ganzzahligen reellen oder komplexen Koeffizien- 

 ten; die Picardsche Gruppe ist nämlich nicht in der komplexen Ebene, sondern erst in dem drei- 

 dimensionalen Halbraume diskontinuierlich. 



Bei beliebigem Werte von n kann man das entsprechende Resultat leicht vermittels einer 

 von Picard angewandten Methode i) erzielen, wo es sich um die von Hermite herrührende 

 kontinuierliche Reduktion indefiniter Formen und ihre Anwendung auf die Bestimmung des Fun- 

 danientalbereichs einer Gruppe arithmetischen Ursprungs handelt. In der Tat führen die Picard- 

 schen Betrachtungen, für den vorliegenden Fall geeignet modifiziert, zu dem Resultat, dass die 

 Grnppe 0„ auf dem reellen absoluten Gebilde aufhört diskontinuierlich zu sein, was mit unserer 

 Behauptung äquivalent ist. 



') E. Picard: Sur les formes quadratiques ternaires indéfinies a indéterminées conjuguées et sur les fonctions 

 hyperfachsiennes correspondantes. Acta mathematica, Bel 5. 1884. 



Tom. L. 



