Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 11 



10. Nach den Ergebnissen des ersten Toiles bestehen die Hauptgrenzgebiide bei jeder Gruppe 

 des obeu betrachteten Typus aus der Gesamtheit der Tangentenhyperebenen der i'cclien absolu- 

 ten Hypersphäre. Die Gesamtheit (M) der Punkte dieser Mannigfaltigkeiten bilden ein Konti- 

 nnuni, dessen Untersuchung unser nächstes Ziel ist. 



\\\v gehen zu diesem Zwecke von der Gleichung 



(18) aiXi + a2X2+ ]- a„x„ — l = 



aus, welche die Tangentonhyperebene des absoluten Gebildes (4)' im leellcn Punkte (ai, 02, . ■•, a„) 

 darstellt. Es ist somit 



(19) al + al + --- + al=l. 



Diu'ch Zerlegung in den reellen und den imaginären Bestandteil ergibt sich hieraus, wenn wir 



(20) x^, = x[.+ ix[!, x^_~x[.— ix" [i-^ 1, . . .,n) 

 schreiben, 



(21) ttjX'j +a2a;2 +--- + a„a3', = 1, 



(22) a^x" + a2X2+--- + a„x" =0. 



Die gesuchte Menge (M) besteht aus sämtlichen Punkten dés Eaumes i?2«, deren Koordinaten 

 x[, . . .,x'^^,x'j' , . . .,x'^, zusammen mit reellen Werten von a^, a^, . ...a^, den Bedingungen (19), 

 (21) und (22) genügen. 



Wir deuten x',,...,x' und x',',...,x" als rechtwinklige Koordinaten zweier Punkte P' 

 und P" eines n-dimensionalen Raumes B,, und haben dann eine umkehrbar eindeutige Beziehung 

 zwischen den Punkten von R2,, und den Punktpaaren (P',P") von R„. Der Kürze halber 

 bedienen wir uns der gewöhnlichen Terminologie des dreidimensionalen euklidischen Raumes. 



Die Längen der Radiivektors OP' und OP" bezeichnen wir bzw. mit r' und r": 



•1 '2 , , '2 "2 "2 , , "2 



r = a;^ H ^- a^„ 7 '" = ^i H H x„ , 



und definieren den Winkel {r'r") zwischen ihren Richtungen durch die Gleichung 



(23) cos(r'r") = '^'^'- 





Aus (19) und (21) folgt zunächst r'^l. Es muss somit der Punkt P' ausserhalb oder auf der 

 Einheitskugel liegen. Wir wählen zunächst P' ausserhalb dieser Kugel und nehmen ferner an, 

 dass r">0 ist, d.h. dass P" nicht mit dem Nullpunkt zusammenfällt, oder m. a. W., dass 

 {xi, . . .,x„) ein komplexer Punkt ist. 



Die Gleichung (21) stellt, wenn 01,^2,. ,«„ als Variable angesehen werden, die Polarebene 

 des Punktes P' inbezug auf die Einheitskugel dar. Die Gleichungen (19) und (21) repräsen- 

 tieren also zusammen den Schnittkreis G dieser Ebene mit der Einheitskugel. Die Tangenten - 



ebenen (21) dieser Kugel in den verschiedenen Punkten {a-^,a^ a„) von C umhüllen einen 



Kegel K' mit der Spitze P\ dessen Scheitelwinkel y durch die Gleichung 



(24) sin y = ^ 



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