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bestimmt wird. Die Gleichung (22) stellt eine durch den Nullpuukt gehende, mit (21) parallele 

 Ebene dar und umhüllt also, wenn der Punkt {ai,a2, ■ -, a„) den Kreis C durchläuft, einen mit 

 K' kongruenten Kegel K", der die Origo als Spitze und OP' als Achse hat. Somit muss der Punkt 

 F" in einer Tangentenebene des Kegels K" und also entweder ausserhalb dieses Doppelkegels 

 oder in der Mantelfläche desselben liegen. 



11. Nehmen wir zuerst an, dass P" ausserhall) K" fällt. Durch P" können dann zwei 

 verschiedene Tangentenebenen zu K" gelegt werden. Die diesen parallelen Tangentenebenen 

 des Kegels K' berühren die Einheitskugel in zwei Punkten des Kreises C, die wir mit Ai und 

 A2 bezeichnen wollen. Die Koordinaten (aj, aj, . ., a„) jedes dieser Punkte befriedigen, zusam- 

 men mit den Koordinaten der Punkte P' und P", die Gleichungen (19), (21) und (22). Der 

 Punkt (P', P") des Baumes i?2„ gehört also zu (M) und ist offenbar ein innerer Punkt dieser 

 Menge; durch ihn gehen zwei verschiedene Hauptgrenzgebilde, nämlich die Tangentenebenen der 

 Einlieitskugel in den Punkten A-^ und A^. 



Wenn P" auf der Mantelfläche von K" liegt und r" > ist, geht durch P" nur eine 

 Tangentenebene dieses Kegels. Dann fallen also ^1 und ^4^ in einem Punkte A des Kreises C 

 zusammen, und die zu A gehörige Tangentenebene der Einlieitskugel ist das einzige Hauptgrenz- 

 gebilde, .das den Punkt {P', P") enthält. Dieser l'unkt gehört auch jetzt zu {M), ist aber ein 

 Grenzpunkt dieser Menge, weil jede Umgebung desselben offenbar Punkte (P', P") enthält, für 

 welche P" innerhalb des entsprechenden Kegels K" fällt und die, nach dem oben Gesagten, 

 also nicht zu {M) gehören. Diese Grenzpunkte bilden ein Kontinuum der (2n— 1)""" Dimension. 



In dem Falle, wo P" in die Origo fällt, also r" = Ö ist, reduziert sich (22) auf eine Identität, 



und die Gleichungen (19) und (21) werden durch die Koordinaten («i,a2 a„) jedes Punktes 



des Kreises C befriedigt. Sämtliche Punkte der durch die Bedingungen r'>l,r" = definier- 

 ten w-dimensioualen Mannigfaltigkeit gehören also zu (M), und durch jeden derselben gehen 

 unendlich viele Hauptgrenzgebilde. Alle diese Punkte liegen an der Grenze von (M). 



Die zuletzt betrachtete Mannigfaltigkeit hat zu Grenzpunkten die Punkte der (ji — l)-dimen- 

 sionalen Mannigfaltigkeit r' = l,r" = 0, d.h. des reellen absoluten Gebildes. Auch diese Punkte 

 gehören der Menge (M) als Grenzpunkte an, und durch jeden derselben geht ein einziges 

 Hauptgrenzgebilde. 



12. Dass der Punkt P" ausserhalb des Doppelkegels K" fällt, wird analytisch durch die 

 Bedingungen y'<(>-' r")<^ — y, oder nach (24) 

 (25) »■'sin(r'r")>l,>-">0 



ausgedrückt, welche Bedingung die zuerst aufgestellte Bedingung r'>0 einschliesst. Nach (23) 

 kann (25) in der Form 



(X, X, H \-X„X,\ 



r'2 - 1 > r'2 cos2 (,•' r") = ^-^^ „■■ " ^^ 



r 



oder 



{r'^+r"^-lf>{r'^-r"^-lf + 4:{x[x'; + --- + xlx'^f 



geschrieben werden, welche letztere Ungleichung vermöge (20) die elegante Form 



Tom. L. 



