Zur Theorie der automorphen Funktionen belielng vieler Veränderlichen. 13 



(25)' • x^x^-\-x.,x^+ ■ ■ • ■\-x^^x^^—\^r:>\■J■\-lrx\^ f-y?^, — 1| 



anuiiuiiit. Wenn F" auf die MantcHliiche von K" lallt, verwandeil sich in (25) und (25)' das 

 Zeichen > in = . 



Wir haben also folgendes Resultat gewonnen: 



Die Oesamtheit {M) der zu den Hauptgrenzgebilden der oben betrachteten Gruppen gehöri- 

 gen Punkte enthält 



a) als innere Funkte smntliche Funkte des 2ti-dimensionalen Kontinuums (25) oder (25)'; 



b) als Grenzpunkle die Funkte des {2 n — \) -dimensionalen Kontinuums 



(26) r'sin(r'»")=l,r">0, 

 diejenigen des n-dimensionalen Kontinuums 



(27) r'>l,r" = 0, 



sowie die reellen Funkte des absoluten Gebildes, d.h. des (n — l) -dimensionalen Kontinuums 



(28) r'=l,r" = 0, 



das die gemeinsame Grenze für (26) und (27) ist. 



Dieses Resultat gilt aber nur für n>8. Im Falle n = 2 reduziert sich nämlich die oben 

 betrachtete räumliche Konstruktion auf eine ebene Figur; statt des Kegels K' erhalten wir die 

 vom Punkte F' gezogenen Tangenten des Einheitskreises, statt K" die durch die Origo gehendea 

 Parallelen derselben. Nach (22) muss F" auf einer dieser Parallelen liegen, und es ist folglich 

 (r'r") = (f, sodass wir als Bedingung, damit der Punkt (F',F") zu (1/) gehört, jetzt die 

 Gleichung 



(29) »•' sin (r' »•")=! 

 oder 



(29)' a;ji, +0:2X2— 1= Ixj + Xg—ll 



bekommen. Im Falle w = 2 ist somit (M) eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit. In unserer 

 oben zitierten Arbeit haben wir gezeigt, dass dieselbe den vierdimensionalea Raum in drei 

 Teile zerlegt. 



13. Nach dem Vorhergehenden charakterisiert die Ungleichung 



(30) r'sin(r'r")<l 

 oder 



(30)' x^x^ + x^x^-l \-x^x^^ — K\xl + xl + -- • +xl — l\ 



die Gesamtheit derjenigen Punkte von B2,,, welche keinem Hauptgrenzgebilde angehören. Diese 

 Punkte bilden einen einfach zusammenhängenden Bereich, wie aus (30) unmittelbar hervorgeht. 

 Mit Rücksicht auf die in N:o 7 dargelegte funktionentheoretische Bedeutung der Hauptgrenz- 

 gebilde können wir die vorhergehenden Resultate im folgenden Satze zusammenfassen: 



SATZ. Bei denjenigen Gruppen, deren Hauptgrenzpunkte aus der Gesamtheit der reellen 

 Funkte des absoluten Gebildes bestehen, definiert jeder vermittels der Ficardschen oder analoger 

 Reihen konstruierte Ausdruck eine einzige analytische Funktion, wenn die Anzahl der Variablen 

 wenigstens drei ist. Der Existenzbereich aller dieser Funktionen besieht aus dem Raum 



