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x^x^ + x^x^-i^ • ■ • + x„a;^— 1 < |Xj + XjH ha;^ — 1 1, 



indem der komplementäre Raum ein lakunärer Raum für die Gesamtheit der fraglichen Funk- 

 tion ist. 



Im Falle zweier Variablen definiert dagegen jeder Ausdruck obiger Art drei verschiedene 

 analytische Funktionen, welche je in einem der durch die dreidimensionale Mannigfaltigkeit 



11 ~^ 2 2 ^^ I 1 ~'~ 5 



begrenzten Teile des vierdimensiunalen Raumes Ri existieren und diese Mannigfaltigkeit als na- 

 türliche Grenze haben, über welche hinaus sie analytisch nicht fortgesetzt iverden können. 



14. Wir gehen' jetzt zu dem zweiten extremen Fall über, wo die Hauptgrenzpunkte auf 

 dem reellen absoluten Gebilde diskret liegen. 



Den einfachsten hierher gehörigen Fall bilden die von einer einzigen Substitution erzeugten 

 oder zyklischen Gruppen. Zur Untersuchung derselben gehen wir von der quadratischen Form 



(31) ^,^,^,_^^^+.l+,l+... + ^l 



aus. welche aus der Form (3) durch die Transformation 



(32) ^i = î/i + 2/„ + i, 2„ + i = 7/i-»/„ + i. Z2 = y-i. z„ = y„ 



hervorgeht. Es sei 



(33) z'p=^c„z, {p = 2....,n) 



eine beliebige reelle orthogonale Substitution und ij irgendeine von Eins verschiedene reelle 

 Zahl. Wir haben dann in 



(34) z'i^tjzi, z'„ + i==-z„ + i, z'p= '^Cp,jZ,j (p=2,...,n) 



eine reelle lineare Substitution, welche die Form (/' invariant lässt; diese Substitution ist im 

 allgemeinen eine loxodromische Substitution und besonders eine hyperbolische Substitution in 

 dem Spezialfälle, wo (33) mit der identischen Substitution zusamnienfällt, nach der bei den linea- 

 ren Substitutionen einer Variableu angewandten Teiniinologie. 



Es sei nun F{zi,Z2, .. .,z„ + i) ein beliebiger Punkt des reellen hyperbolischen Raumes 

 (// < und somit ^„ + 17^0. Wenn dann etwa >;< l ist, so wird bei unbegrenzter Wiederholung 

 von (34) 2^ = und 2'_^j = co, während die Werte von z'^,z'^, . ..,z'^ wegen der Identität 



'2 , '2 , , '2 2,2, ,2 



^2 +^3 "I '"^»=^2 + ^3'' '"^r. 



unterhalb endlicher Grenzen bleiben. Hieraus geht hervor, dass die Bildpunkte von P den 

 Berührungspunkt Q der Tangentenhyperebene ^i = des absoluten Gebildes ip = zum Grenz- 

 punkt haben. In ähnlicher Weise wird bewiesen, dass bei unbegrenzter Wiederholung der inversen 

 Substitution der BerlUirungspunkt Q' der Tangentenhyperebene s„ + i = zum Grenzpunkt erhalten 

 wird. Die Punkte Q,Q' sind die Hauptgrenzpunkte, die zugeordneten Tangentenhyperebencn 

 2i = 0,z„ + i = die Hauptgrenzgebilde unserer zyklischen Gruppe. 



Tom. L. 



