Zur Theorie der automorphen Funktionen helielm/ vieler Veränderlichen. 15 



J)iuch Übergang zu den transiormioiten (4ruppen werden die Haiiptgremgehilde mts zwei 

 Tangentenhijperehenen der reellen absoluten Hypersphäre bestehen, deren Bei'ührungspunkte. nach 

 Ausführung einer geeigneten Transformation, beliebig vorgeschriebene Lagen erhalten können. 



15. Wir wollen hier nebenbei die speziellen Grenzgebilde der obigen Gruppen betrachten 

 (vgl. S. 9). obwohl die.'^elben im Folgenden keine funktionentheoretische Anwendung finden 

 werden. Wir beschränken uns dabei auf lineare Mannigfaltigkeiten. 



Wir wählen den Punkt P irgendwo auf der invarianten Mannigfaltigkeit 2;„ + i = 0. üie 

 Biidpunkte von P gehören dann ebenfalls dieser Mannigfaltigkeit au und können daher bei unbe- 

 grenzter Wiederholung der Substitution (34) nicht den Punkt Q zum Grenzpunkt haben. Es 

 liege zuerst eine hyperbolische Substitution vor; 



s' = tis,. z',,= -s ,,, 2'=s„. (P = 2 ,n) 



Der betreffende Grenzpunkt ist dann ein Punkt der Mannigfaltigkeit zi = 3„ + \ = 0. nämlich 



(0. 22,23, •• -i^.,. 0); seine Lage ist vom Anfangspunkte P{3i,Z2 2„,0) abhängig und kann 



bei geeigneter Wahl von P mit einem beliebig gegebenen Punkt jeuer Maunigfaltigkeit zusam- 

 menfallen. Wegen der Polarität kann man daraus schliessen, dass die Transformierten jeder 

 durch den Punkt Q' gehenden Hyperebene durch die Punkte Q. Q' gehende Hyperebenen als 

 Grenzgebilde haben. Entsprechendes gilt für die Wiederholung der inversen Substitution, nur 

 wird die Rolle der Punkte Q,Q' sowie der Hypertangentenebenen 2i = und2„ + i = ver- 

 tauscht. Somit bestehen die speziellen linearen Grenzgebilde bei den betrachteten Gruppen aus 

 den durch die Hauptfixpunkte Q, Q' gehenden Hyperebenen. Diese Grenzgebilde durchsetzen 

 im Falle n>2 den ganzen Eaum i?2., • 



Das obige Resultat gilt auch bei den loxodromischen Substitutionen, mit dem Unterschied, 

 dass hier jede Hyperebene mehrere Grenzgebilde hat. Wie leicht einzusehen, ist die Anzahl 

 derselben endlich oder unendlich, jenachdem die orthogonale Substitution (33) periodisch ist 

 oder nicht. 



16. Allgemeinere Gruppen mit diskreten Hauptgrenzgebilden erhält man in folgender Weise: 

 Wir wählen auf der reellen absoluten Hypersphäre eine gerade Anzahl Punkte Ç,, Q]. und 



bilden mit diesen Punkten als Hauptfixpunkten hyperbolische oder loxodromische Substitutionen. 

 Wir behaupten, dass die aus diesen Substitutionen Si erzeugte Gruppe sicher dann diskontinuier- 

 lich ist, wenn die Multiplikatoren »/, der erzeugenden Substitutionen hinreichend klein gewählt 

 werden. 



Zum Beweise wählen wir für jede Substitution -S, eine reelle Hyperebene E', welche aus 

 der Hypersphäre ein kleines, den Punkt Q' enthaltendes Segment Tj schneidet. Bei hinreichend 

 kleinen Werten von «/, wird die vermittels Si aus E' erhaltene Hyperebene Ei aus der Hyper- 

 sphäre ein beliebig kleines, den Punkt Qi enthaltendes Segment t, schneiden. Man kann dadurch 

 offenbar erreichen, dass die verschiedenen Hyperebenen E,,Ei einander nur ausserhalb der abso- 

 luten Hypersphäre treffen. Unter dieser Bedingung ist aber die von den Substitutionen S, er- 

 zeugte Gruppe diskontinuierlich, weil offenbar der von den Hyperebenen Ei, Ei und den zwischen- 



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