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liegenden Teilen der absoluten Hypersphäre begrenzte Bereich B keine zwei bezüglich der Gruppe 

 äquivalenten Punkte enthält und somit ein Teil des Fuudamentalbereichs ist. 



Diese Gruppen gestatten eine sehr einfache Darstellung vermittels der in N:o 2 besprochenen 

 quadratischen Substitutionen. Bei Ausführung der Transformation (6) wiid nämlich der Bereich 

 B in einen von ausserhalb einander liegenden Halbhyperkugeln und Teilen der Hyperebene ?„ = 

 begrenzten Bereich übergeführt. Die transformierten erzeugenden Substitutionen ordnen dabei 

 die Halbhyperkugeln paarweise einander in der Weise zu, dass die inneren und äusseren Teile 

 dieser Halbkugeln einander wechselweise entsprechen. Beschränkt man sich auf die invariante 

 Hyperebene J„ = 0, wo die Gruppe bereits diskontinuierlich ist, so gelangt man zu einer Gruppe, 

 deren Fundamentalbereich im reellen Gebiete von einer geraden Anzahl (n — l)-dimensionaler 

 Hyperkugeln, in den Fällen n = 4 und n = 3, also von gewcihnlichen Kugeln bzw. Kreisen be- 

 grenzt ist. Durch Übergang zu einer komplexen Veränderlichen gehen diese Gruppen im Falle 

 M = 3 in Gruppen des Schottkyschen Typus über. 



17. Zwischen den oben behandelten extremen Fällen, wo die Mannigfaltigkeit der Haupt- 

 grenzgebilde ihre maximale bzw. minimale Mächtigkeit hatte, gliedern sich eine Anzahl interme- 

 diärer Fälle, wo die Hauptgrenzpunkte Kontiuua von kleinerer als (n — 1)'" Dimension bilden. 

 Man findet unmittelbar, dass in diesen Fällen die Punkte der Hauptgrenzgebilde 2 w-dimeusionale 

 Kontinua bilden, ausser im niedersten Falle, wo die Hauptgrenzpunkte ein lineares Koutinuum 

 bilden, in welchem Falle die Dimension des fraglichen Koutinuums gleich 2w — 1 ist. 



Wir wollen hier nur diesen letzten Fall näher untersuchen und wählen der Einfachheit 

 wegen den Fall w = 3, d.h. den gewöhnlichen hyperbolischen Raum zum Gegenstand unserer 

 Untersuchung. 



Die in dem in N:o 2 angegebenen Sinne zugeordneten Gruppen linearer Substitutionen einer 

 Veränderlichen mit komplexen Koeffizienten halien im vorliegenden Falle entweder eine oder 

 unendlich viele Grenzkurven, welche Kreise oder niclitaualytische Kurven sind. AVir betrachten 

 zunächst den Fall einer Grenzkurve, deren Projektion auf der absoluten Kugel wir mit be- 

 zeichnen. Die Punkte von O sind die Hauptgrenzpunkte, die durch diese Punkte gehenden Tan- 

 gentenebenen die Hauptgrenzgebilde unserer Gruppe r. Wir behaupten, dass die aus den Punk- 

 ten sämtlicher Haupt grenzgebilde bestehende fünfdimensionale Mannigfaltigkeit M den ganzen 

 sechsdimensionalen Raum R^ in drei Teile zerlegt. Betreffs der Kurve setzen wir nur voraus, 

 dass sie eine einfache geschlossene Kurve ist. 



Es sei Pein beliebiger Punkt von R^n. der dem Bereiche (25) angehört, (P'.P") das 

 entsprechende Punktpaar des Raumes R„ und 4i und A^ die zugehörigen Punkte der Einheits- 

 kugel (vgl. S. 12). Die Tangentenebeneu dieser Kugel in Ai und A2 schneiden einander längs 

 einer Geraden L'. die durch P' geht; der Punkt P" liegt auf der durch die Origo gehenden 

 Parallele L" zu L'. Wie wir oben gesehen haben, sind die zu Ax und A2 gehörigen Tangenten- 

 mannigfaltigkeiten (18) im Räume Rf, die einzigen, welche den komplexen Punkt P enthalten. 

 Wenn also weder A y noch A2 auf der Greuzkurve O liegt, so liegt P ausserhalb der Mannig- 

 faltigkeit M. 



Wenn der Punkt P" auf der Mantelfläche des Kegels K" (jedoch verschieden von der Origo) 

 gewählt wird, so fallen Ai und A-z in einem Punkt A der Kugelfläche zusammen, und die zu 



Tom. L. 



