Zur Theorie der automorphen FunJcfionnn helichif/ vieler Veränderlichen. 17 



diesem gehörige Maniügt'altigiieit (18) ist die einzige, die durch den Punkt P geht. Ist A aus- 

 serhalb gelegen, so gehört folglich P nicht zu il/. Ein ähnliches Resultat wird erhalten. 

 wenn P' in der Oberfläche der Einheitskugel fällt. 



Lassen wir dagegen P" mit der Origo zusammenfallen, so gehen durch den entsprechenden 

 Punkt P unendlich viele Mannigfaltigkeiten (18). nämlich alle diejenigen, die den Punkten des 

 zu P' gehörigen Kreises C entsprechen. Der Punkt P gehört dann zu M oder nicht, jeuach- 

 dem der Kreis die Kurve trifft oder nicht. 



Die Grenzkurve G zerlegt die Oberfläche der Einheitskugel in zwei Teile « und ß. Wir 

 bezeichnen mit (P„) bzw. (P,?) die Gesamtheit derjenigen Punkte des Bereichs (25). für welche 

 die entsprechenden Punkte Ai und A2 beide innerhalb « bzw. beide innerhalb ß fallen. Nach 

 dem oben Gesagten haben die Mengen (Pa) und {Pß) keinen Punkt mit der Menge (M) ge- 

 meinsam. Wir behaupten, dass jede derselben ein einziges Kontinuum bildet. 



18. Es seien P=(P'. P") und P = (P',P") irgend zwei Punkte z.B. der Menge (P„), 

 A^, A2 und ^i. A2 die entsprechenden Punktpaare der Einheitskugel. L'. L" und L', L" die 

 zugehörigen Paare von Geraden. Diejenigen von der Origo ausgehenden Halbstrahlen der Geraden 

 L" und L", die P" bzw. P" enthalten, bezeichnen wir mit L'l und L'+. Wir lassen nun 

 die Punkte A\ und A2 innerhalb « kontinuierlich variieren, bis sie schliesslich mit A\ und A2 zu- 

 sammenfallen, wobei die Geraden L' und L" in U und L" stetig übergehen. Der Halbstrahl 

 L4. geht hierbei entweder in L\. oder in den entgegengesetzten Halbstrahl L'L über. Im letzten 

 Falle lassen wir noch die Punkte A\ und A2 durch kontinuierliche Variation innerhalb « ihre 

 Plätze vertauschen, wobei L' und L" in der Weise in sich übergehen, dass die Halbstrahlen L+ und 

 L_ untereinander vertauscht werden. Diese Überlegung zeigt, dass es immer möglich ist, den 

 Punkt P innerhalb (P«) in P stetig zu überführen, womit unsere Behauptung bewiesen ist. 



Die beiden Kontinua (P«) und {Pß) hängen mit dem Bereiche 



(35) r'sin(r'r")<l 



entlang gewisser fünfdimensionaler Teile der Mannigfaltigkeit ?•' sin (/•' r") = 1 stetig zusammen. 

 Somit bilden (P«), {Pß) und (35) ein einziges Kontinuum, das wir mit (Z) bezeichnen. 



Wir betrachten hiernach die Gesamtheit {Pa,ß) derjenigen Punkte (P', P") des Bereichs 

 (25), von dessen entsprechenden Punkten Ai.A^ der eine, sagen wir A\, innerhalb «, der 

 andere, A^, innerhalb ß liegt. Kein Punkt von (Pa, /s) gehört zur Mannigfaltigkeit M. Dagegen 

 enthält jeder stetige Weg S, der einen Punkt P von {Pa,ß) mit einem inneren Punkte des 

 Kontiuuums (/) verbindet, wenigstens einen Punkt von M . Denn wenn P den Greuzpunkt der 

 Menge {Pa,ß) bezeichnet, wo S aus derselben heraustritt, so muss, wenn man sich entlang S 

 dem Punkte P nähert, entweder einer der Punkte Ai^A^ sich einem gewissen Punkte der Kurve 

 nähern, und dann geht das zu diesem Punkte gehörige Hauptgrenzgebilde durch den 

 Punkt P. Oder es bleiben Ai und A2 bzw. innerhalb « und ß, und P" nähert sich Null, so dass 

 folglich der durch A\. A2 gehende Kreis C in den zu P gehörigen Kreis C' stetig übergeht. 

 Weil nun C fortwährend die Kurve schneidet, so hat auch der Kreis C mit einen Punkt 

 gemeinsam, und also gehört auch jetzt P zu der Mannigfaltigkeit M. Somit ist bewiesen, dass 

 diese Mannigfaltigkeit jeden Punkt in (P^,^) von dem Kontinuum (1) trennt. 



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