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19. Wir zeigen jetzt, dass (Pa,ß) selbst aus zwei Koutinua besteht, die durch die Man- 

 nigfaltigkeit M voneinander getrennt werden. 



Es seien Ai und A2 beliebige Punkte innerhalb « und (i, L' und L" die zugehörigen Ge- 

 raden, Z/+ und L'L die beidenvon der Origo ausgehenden Halbstrahlen der Geraden L". Wir wählen 

 auf L' einen beliebigen Punkt P', auf L+ einen Punkt P+ und auf L'L einen Punkt P'L. Die 

 Punkte P+ = {P'. P+) und P^ = {P', P'l) gehören beide zu (P«,^). Wir behaupten, dass jeder 

 stetige Weg S, der P+ und P_ verbindet, die Mannigfaltigkeit M durchsetzt. Nach dem oben 

 Gesagten genügt es den Fall zu untersuchen, wo S ausserhalb des Kontinuunis (/) verläuft. Ti'ifft 

 man auf S einen Punkt (P', P"), für welchen P" mit der Origo zusammenfällt, so ist (P', P"). wie 

 oben bewiesen wurde, ein Punkt von M. Im entgegengesetzten Falle zeigt eine einfache geo- 

 metrische Überlegung, dass beim Durchlaufen der Kurve S von P+ bis P_, die Punkte Ai und 

 A2 ineinander kontinuierlich übergeführt werden. In einem gewissen Augenblick muss dann 

 einer dieser Punkte auf fallen, und der entsprechende Punkt von S gehört dann der Mannig- 

 faltigkeit M an. 



Hieraus schliesst man. dass. wenn Ai und Ja innerhalb « und /Ï irgendwelche geschlossenen 

 Umlaufe machen, die Halbstrahlen p'l und L'L immer in sich selbst übergehen. Wir können also 

 die Punkte von (P«,^) in zwei Klassen, {II) und {III), zerlegen, indem wir einen Punkt (P', P") 

 von (Pa,fi) zu der ersten oder zweiten Klasse führen, jenachdem derjenige Halbstrahl der ent- 

 sprechenden Linie L", der P" enthält, durch kontinuierliche Verschiebung von Ai und A2 in- 

 nerhalb a und ß in den anfangs fixierten Halbstrahl L" oder in L'L übergeführt werden kann. 

 Die Betrachtungen S. 17 zeigen, dass jede der Punktmengen {II) und (///) für sich ein einziges 

 Kontinuum bildet. Nach dem oben Bewiesenen werden diese Kontinua durch M voneinander 

 getrennt. 



Somit wird durch die Mannigfaltigkeit M der Raum R^ in drei verschiedene Kontinua, 

 (/). {11) und (///), geteilt. 



Das Begrenzungsgebilde dieser Kontinua ist entweder ein algebraisches oder ein nichtana- 

 lytisches fimfdimensiouales Kontinuum. Im ersten Falle ist dasselbe eine mit 



XX + ^J y — \ ^ \x- -\- y- — l\ 



hyperbolisch kongruente algebraische Mannigfaltigkeit vierten Grades, wie man bemerkt, wenn 

 die Ebene des Kreises vermittels einer Kollineation (1) in die xy -Ebene übergeführt wird. In 

 diesem Falle ist das obige Eesultat eine unmittelbare Folgerung des in N:o 13 aufgestellten Satzes. 



20. Betreffs der automorphen Funktionen der im Vorigen betrachteten Gruppen können 

 wir folgenden Satz aussprechen. 



SATZ. Jeder veriiiittels der verallgemeinerten Poincare'sehen Reihen gebildete Ausdruclc defi- 

 niert gleichzeitig drei analytische Funktionen, welche je in einem der drei Räume I. II, III 

 existieren und die Mannigfaltigkeit M als natürliche Grenze haben. 



Wenn die Gruppe g unendlich viele Grenzkurveu besitzt, so erhält man eine Zerlegung 

 des Raumes R^ in unendlich viele entweder von algebraischen oder von nichtanalytischen 

 Gebilden begrenzten Teile, deren jeder den Existenzbereich einer automorphen Funktionen- 

 klasse bildet. 



Tom. L. 



