Zur Theorie der automorphen FunJciionen beliebig vieler Veränderlichen. 19 



21. Die ol)ip:en Resultate gelten uugeändert im Falle beliebig vieler Veränderlichen. Wir 

 wollen dies nur füi' deu Kall, wo G ein Kreis ist, kui'z andeuten. 



Vermittels einer geeigneten hyperbolischen Bewegung können wir offenbar G mit dem Kreis 



(36) x^ + xl=l, x.^ = x^= • • • = x^^ = 



zusammenfallen lassen. Die Tangenten hyperebeuen, welche die absolute Hypersphäre in den 

 Punkten von (36) berühren, bilden ein (2n — l)-dimensionales Kontinuum, dessen Gleichung 



auf Grund des Satzes in N:o 13 unmittelbar aulgestellt werden kann. Diese Mannigfaltigkeit 

 und somit auch die mit ihr kollineare Mannigfaltigkeit M zerlegt den Raum R2„ in drei Teile. 



22. Wir wollen zum Abschluss ein Beispiel über die anderen intermediären Fälle behandeln. 

 Wir betrachten zu diesem Zweck diskontinuierliche Gruppen von Kollineationen, welche 



nicht nur die Form (3), sondern auch eine gewisse, die absolute reelle Hypersphäre schnei- 

 dende reelle lineare Mannigfaltigkeit von Iteliebiger Dimensionenzahl m<Cn invariant hissen. 

 Diese Mannigfaltigkeit können wir. durch Ausführung einer geeigneten Transformation, mit 

 Xi = Xi = • • ' = x,n = ü zusammenfallen lassen. Die Hauptgrenzpunkte der so erhaltenen Gruppe 

 liegen dann offenbar auf der Hypersphäre 



Xj = 032= • • • = a;,„ = 0, a,';^, + aj,^,^2 + • • • + ^!- 1 = 0- 



Wir nehmen jetzt an, dass jeder Punkt dieser Hypersphäre ein Hauptgrenzpuukt ist. Die 

 Hauptgrenzgebilde bilden dann, für hi = 1,2, . . ., w — 3, 2 »i-dimensionale Kontinua: 



'~ ~ ~ I 2 2 2 1 



^m + l^m + l +*'.» + 2 ^».+2 + " ' ' + ^« ^». ~ -^ ^ I ^m + 1 + *m + 2 + ' ' " + *n ~ ■'■ ' ' 



deren jedes ein Teil des vorangehenden ist. Der komplementäre Raum ist zusammenhängend, 

 und jeder vermittels der verallgemeinerten Poincaréschen Reihen gebildete Ausdruck definiert 

 also eine einzige analytische Funktion. 



III. Über verallgemeinerte Poincarésche Reihen. 



Â. Picardsche Reihen. 



23. Wir beginnen unsere Konvergenzbetrachtungen mit der Untersuchung der durch die 

 Spezialisierung Ä'=l aus (17) erhaltenen Picardscheu Reihe 



^^'^ ^L'^(-l--2 -„)J 



Es ist 



(■gm VI'''' ' m' _ _j_ I 



d(a;i,X2,....x„) -(«„ + ,,ia-i + ... + «„ + i,,.x„ + „„ + i_„^.,i)» + i' 

 N:o 3. 



