Zur Theorie der mdomorphen FunUionen beliebig vieler Veränderlichen. 21 



gebilde vorhanden sind, so erhalten wir, wenn wir die Ungleichungen (43) auf x anwenden, für 

 jeden Punkt (x\,...,x„) dieses Bereichs eine Ungleichung der Form 



(45) -. 7 — 7 * T r;rTT<'?^". 



wo q eine endliche Grösse bezeichnet. 



Wegen der geometrisch evidenten Endlichkeit der Summe 2 V^ folgt hieraus, dass die Reihe 

 (39) für p = 1 und dann a fortiori für p > 1 innerhalb x absolut und gleichniässig konvergiert. 

 Durch erneute Anwendung der Ungleichungen (43) findet man, dass diese Folgerung für jeden 

 von den Hauptgrenzgebilden in endlicher Entfernung liegenden Raum A gültig bleibt, nach Fort- 

 lassung der endlich vielen Glieder der Reihe, welche in jenem Bereich algebraisch unstetig werden. 



25. Durch das Obige ist für den Konvergenzexponenten p keineswegs eine untere Grenze 

 gefunden. Wir wollen zeigen, dass es diskontinuierliche Gruppen gibt, bei welchen der Kouver- 

 genzexponent p einen beliebig kleinen positiven Wert hat. 



Wir untersuchen zu diesem Zwecke eine Gruppe des in N:o 16 besprochenen Typus. Es 

 seien S\,S2.,. ■ ...Sis die paarweise einander inversen erzeugenden Substitutionen der Gruppe. 

 Weil zwischen diesen Substitutionen offenbar keine anderen Relationen stattfinden als diejenigen, 

 die sich auf die Identitäten SS-^ = 1 zurückführen lassen, so ist jede Substitution in der Form 



(46) S"'S"=.---S!'' 



', ', 'q 



in eindeutiger Weise darstellbar. Die Summe 



H 



(47) ^=2"" 



der Exponenten in der Substitution (46) werden wir vorläufig den Index derselben nennen und 

 dementsprechend die Substitution selbst mit S(,) bezeichnen. Man erhält hiernach die Gesamt- 

 heit der Substitutionen des Index v + 1 , wenn man in dem Ausdruck 



(48) 5'(. + i, = ,S(„,S,. 



S(y) die Gesamtheit der Substitutionen des Index i> und <SV sämtliche erzeugende Substitutionen, 

 von der inversen Substitution des letzten Faktors von <?(,) jeweils abgesehen, durchlaufen lässt. 



26. Wir betrachten jetzt die unendliche Reihe 



(49) |](T„, 



deren allgemeines Glied ff, aus der Summe derjenigen Glieder der Reihe 



(50) 2 



'^(^^1-^2 ^«) 



(*>0) 



besteht, welche sich auf Substitutionen des Index v beziehen. Man erhält eine obere Grenze für 

 den Quotient a^ + i: a^ und alsdann ein Kriterium für die Konvergenz der Reihe (50) in folgender 

 Weise. 



N:o 3. 



