Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 23 



Es sei jetzt P{xuX2,...,x„) ein beliebiger im Bereiclio B lieg-ender Punkt des hyperbo- 

 lischen Raumes (vgl. N:o IC). Der Punkt S(,^(P) liegt, dann in demjenigen Segmente r^,, das 

 dem letzten Primfaktor Sn von S^^) zugeordnet ist. Weil nun Sk-9^S'^^ ist, so liegt der Bereich 

 T/, in endlicher Entfernung von der H3'perebene 



n 



(57) '^(i„ + \.^x^ + ß„ + i,„ + i = 0, 



9 = 1 



welche die absolute Hypersphäre in einem Punkte Q'. des der Substitution S~^ zugeordneten 

 Segmentes berührt. Daraus kann man aber die Existenz einer endlichen Konstante C schliessen, 

 unterhalb welcher der Wert des letzten Faktors der rechten Seite von (56) bleibt, wenn (x) ein 

 beliebiger Punkt von B und wenn S(„), »S'(„ + i) beliebige Substitutionen vom Index y bzw. v+l 

 bezeichnen. Wenn mit rjo der grösste unter den Multiplikatoren der erzeugenden Substitutionen 

 bezeichnet wird, ergibt sich aus (56) die Ungleichung 



(58) 



ö(S(„ + i)(a=j)/(S,,)(x)) 



ô{x) ■ d(x) 



<{cv:-''r 



für jede Substitution Sf^) des Index »'und jede der 2N—1 in Betracht kommenden erzeugenden 

 Substitutionen Si-. Indem wir sämtliche Ungleichungen (58), die einem gegebenen Index ent- 

 sprechen, aufstellen und addieren, gelangen wir in dieser Weise zur Ungleichung 



(Ô9) <r„ + i:(r„<(2iV-l)(6>;' + ')'- 



Wählen wir die absoluten Werte der Multiplikatoren so klein, dass die rechte Seite von (59) 

 kleiner als Eins wird, so haben wir also ein Beispiel einer Gruppe, für welche die Reihe (50) 

 konvergiert. 



27. Wir kehren jetzt zur allgemeinen Picardschen Reihe (17) zurück. 



Wir setzen voraus, dass die rationale Funktion H für alle auf der reellen absoluten Hy- 

 persphäre liegenden Hauptgrenzpuukte der Gruppe endlich bleibt. Weil diese Punkte die Häu- 

 fungsstelleu der Transformierten jedes ausserhalb der Hauptgrenzgebilde liegenden sowohl ein- 

 zelnen Punktes als endlichen Bereichs ausmachen, so können innerhalb jedes endlichen, von 

 Hauptgreuzgebilden freien Bereichs des Raumes Äa« nur endlich viele der in (17) auftretenden 

 Faktoren H{S) Uustetigkeiten besitzen, während alle übrigen daselbst dem absoluten Betrage 

 nach unterhalb einer endlichen Grenze liegen. Hieraus und aus dem in N:o 24 hinsichtlich der 

 absoluten und gleichmässigen Konvergenz der speziellen Reihe (39) bewiesenen Resultate folgt 

 aber die absolute und gleichuiässige Konvergenz der allgemeinen Reihe (17) in jedem von den 

 Hauptgrenzgebilden freien Bereich, nach Fortlassung der endlich vielen Glieder, die in jenem 

 Bereiche unstetig werden. 



Nach dem Vorhergehenden ist somit jede vermittels der Picardschen Reihen gebildete ana- 

 lytische Funktion innerhalb ihres ganzen Existenzbereichs von rationalem Charakter. 



Wir wollen zum Schluss die Existenz von Picardschen Funktionen (17) nachweisen, die 

 in ihrem Existenzbereiche überall regulär sind. Das einfachste Beispiel hat man in der speziellen 

 für H=l erhaltenen Funktion (17) bei denjenigen Gruppen, deren Hauptgreuzpunkte aus sämt- 



N:o 3. 



